Calcule a integral dupla.
\int_{R} \int x y d A
R : retângulo com vértices (0,0),(0,5),(3,5),(3,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x\,y \,dA
onde R é o retângulo com vértices (0,0), (0,5), (3,5) e (3,0).
O conteúdo aqui é integração de funções polinomiais em coordenadas retangulares, usando integrais iteradas.

Passo 2

Como R=[0,3]\times[0,5], montamos a integral iterada escolhendo integrar primeiro em y e depois em x:
\iint_{R} x\,y \,dA = \int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{5} x\,y \,dy\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{5} x\,y \,dy = x \int_{0}^{5} y \,dy = x \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{5} = \frac{25}{2}\,x.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{3} \frac{25}{2}\,x \,dx = \frac{25}{2} \int_{0}^{3} x \,dx = \frac{25}{2} \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3} = \frac{25}{2}\cdot\frac{9}{2} = \frac{225}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{225}{4}

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