Cacule o limite, se existir.
lim x 4 x^3+3 xx^2-x-12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve uma função racional. O enunciado pede para calcular:
lim x 4 x^3+3xx^2-x-12
Vamos precisar usar conceitos de limites e analisar o comportamento da função conforme se aproxima de 4.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir Numerador: 4^3 + 3 times 4 = 64 + 12 = 76 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite rapidamente.
Denominador: 4^2 - 4 - 12 = 16 - 4 - 12 = 0
Aí deu uma divisão por zero, o que significa que precisamos analisar melhor o comportamento da função perto de .

Passo 3

Quando encontramos uma divisão por zero no denominador, é importante ver como o denominador se comporta quando x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) se aproxima de 4 por valores menores e maiores que 4. Vamos fatorar o denominador para entender melhor:

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal do denominador perto de :
  • Quando se aproxima de 4 pela esquerda ( ):
    • é negativo (porque )
    • é positivo (porque + 3 = 7, que é positivo)
    • Então, o denominador é negativo ( )
  • Quando se aproxima de 4 pela direita ( ):
    • é positivo (porque )
    • continua positivo
    • Então, o denominador é positivo ( )

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece com a função:
76Denominador
  • Pela esquerda ( ): O denominador está se aproximando de zero negativo, então a fração tende a .
  • Pela direita ( ): O denominador está se aproximando de zero positivo, então a fração tende a .

Resposta

O limite não existe.

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