Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional
ao mover uma partícula com massa
do ponto
para o ponto
ao longo de uma curva
por partes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o trabalho realizado por um campo gravitacional específico ao mover uma partícula de um ponto para outro ao longo de uma curva. Vamos usar conceitos de Física, especificamente de Campos Vetoriais e Trabalho. Para isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por um campo vetorial
ao mover uma partícula de um ponto
para um ponto
ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo da curva.
Passo 3
Dado o campo gravitacional:
Observamos que esse campo é conservativo, pois pode ser derivado de um potencial escalar
. Para campos conservativos, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.
Passo 4
Para campos conservativos, podemos calcular o trabalho usando a diferença dos potenciais nos pontos final e inicial:
O potencial gravitacional
está relacionado ao campo
por:
Integrando, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o potencial nos pontos inicial
e final
. Primeiro, calculamos a distância
de cada ponto até a origem:
Para
:
Para
:
Passo 6
Substituindo esses valores no potencial
:
Passo 7
Finalmente, calculamos o trabalho
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover a partícula é: