Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional
F(x, y, z) = - (m M G / ||r||^3) r, onde r = x i + y j + z k
ao mover uma partícula com massa m do ponto 3, 4, 12 para o ponto 2,2,0 ao longo de uma curva C^1 por partes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o trabalho realizado por um campo gravitacional específico ao mover uma partícula de um ponto para outro ao longo de uma curva. Vamos usar conceitos de Física, especificamente de Campos Vetoriais e Trabalho. Para isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover uma partícula de um ponto para um ponto ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Aqui, é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo da curva.

Passo 3

Dado o campo gravitacional:
Observamos que esse campo é conservativo, pois pode ser derivado de um potencial escalar . Para campos conservativos, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.

Passo 4

Para campos conservativos, podemos calcular o trabalho usando a diferença dos potenciais nos pontos final e inicial:
O potencial gravitacional está relacionado ao campo por:
Integrando, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o potencial nos pontos inicial e final . Primeiro, calculamos a distância de cada ponto até a origem:
Para :
Para :

Passo 6

Substituindo esses valores no potencial :

Passo 7

Finalmente, calculamos o trabalho :

Resposta

O trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover a partícula é:

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