Cacule
$\mathcal{L}{-1}\left{\frac{2}{(s+1)\left(s{2}+4\right)}\right})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de
\frac{2}{(s+1)\,\bigl(s^{2}+4\bigr)}
ou seja, encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{2/[(s+1)(s^2+4)]\}. Para isso vamos usar decomposição em frações parciais e a tabela básica de transformadas de Laplace.

Passo 2

Assumimos uma decomposição do tipo
\frac{2}{(s+1)(s^2+4)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B\,s+C}{s^2+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s^2+4) obtemos
2 = A\,(s^2+4) + (B\,s + C)\,(s+1) = (A+B)\,s^2 + (B+C)\,s + (4A + C).
Comparando coeficientes de s^2, de s e do termo constante, surge o sistema:
\begin{cases} A + B = 0,\\\ B + C = 0,\\\\ 4A + C = 2. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo
A + B = 0\implies B=-A,
B + C = 0\implies C=-B=A.
Substituindo em 4A + C = 2
4A + A = 2 \quad\Longrightarrow\quad 5A = 2 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{2}{5},
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B = -\frac{2}{5}, \quad C = \frac{2}{5}.

Passo 4

A decomposição final é
\frac{2}{(s+1)(s^2+4)} =\frac{2/5}{s+1} +\frac{-\tfrac{2}{5}\,s + \tfrac{2}{5}}{s^2+4} =\frac{2}{5}\,\frac{1}{s+1} -\frac{2}{5}\,\frac{s}{s^2+4} +\frac{2}{5}\,\frac{1}{s^2+4}.
Agora aplicamos transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2+4)\}=\cos(2t),
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+4)\}=\tfrac{1}{2}\sin(2t).
Portanto
f(t) =\frac{2}{5}\,e^{-t} -\frac{2}{5}\,\cos(2t) +\frac{2}{5}\,\frac{1}{2}\,\sin(2t) =\frac{2}{5}e^{-t}-\frac{2}{5}\cos(2t)+\frac{1}{5}\sin(2t).

Resposta

f(t)=\frac{2}{5}e^{-t}-\frac{2}{5}\cos(2t)+\frac{1}{5}\sin(2t).

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