Resolva os PVI’s usando transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+9 y=\delta(t-\pi), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema inicial
y''+9y=\delta(t-\pi),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0
e pede a solução usando transformada de Laplace. Vamos usar as fórmulas
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) e \mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-a s}, além do teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados:
\mathcal{L}\{y''\} + 9\,\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{\delta(t-\pi)\}
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isso vira
s^2Y(s)+9Y(s)=e^{-\pi s}.

Passo 3

Fatorando Y(s) e isolando:
Y(s)\,(s^2+9)=e^{-\pi s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s^2+9}.

Passo 4

Para inverter usamos o teorema do deslocamento no tempo: se
\displaystyle F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, então
\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=f(t-a)\,H(t-a).
Aqui F(s)=1/(s^2+9) e
\displaystyle f(t)=\frac{1}{3}\sin(3t). Logo
y(t)=\frac{1}{3}\,\sin\bigl(3(t-\pi)\bigr)\,H(t-\pi).

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{1}{3}\sin\bigl(3(t-\pi)\bigr)H(t-\pi)

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