Resolva os PVI’s usando transformada de Laplace:
y^{\prime}+2 y=1, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'(t) + 2\,y(t) = 1,\quad y(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades lineares da transformada, em particular
\mathcal{L}\{y'(t)\} = s\,Y(s)-y(0) e \mathcal{L}\{1\} = 1/s.

Passo 2

Tomando Laplace em ambos os lados de y'(t)+2y(t)=1, vem
\mathcal{L}\{y'(t)\} + 2\,\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}
ou seja
\bigl(s\,Y(s)-y(0)\bigr) + 2\,Y(s) = \frac{1}{s}.

Passo 3

Como y(0)=0, a equação no domínio de s fica
s\,Y(s) + 2\,Y(s) = \frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\,(s+2) = \frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{s\,(s+2)}.

Passo 4

Para inverter, fazemos frações parciais:
\frac{1}{s(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2} \quad\Longrightarrow\quad 1 = A\,(s+2) + B\,s.
Tomando s=0 1=2A\Rightarrow A=\tfrac12. Tomando s=-2 1=-2B\Rightarrow B=-\tfrac12.
Logo
Y(s) = \frac{1/2}{s} - \frac{1/2}{s+2}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa, lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+2)\}=e^{-2t}, obtemos
y(t) = \frac12\cdot 1 \;-\;\frac12\cdot e^{-2t} = \frac12\bigl(1-e^{-2t}\bigr).

Resposta

y(t) = \frac12\bigl(1 - e^{-2t}\bigr).

Exercícios relacionados