Cacule
$\mathcal{L}{-1}\left{\frac{s+3}{s{2}+4}\right})

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{s+3}{s^{2}+4}
ou seja, queremos encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{s+3}{s^{2}+4}.
Para isso vamos usar a linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas conhecidas
\mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\} = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 2

Decompondo a fração por soma de termos simples, temos
\frac{s+3}{s^{2}+4} = \frac{s}{s^{2}+4} \;+\;\frac{3}{s^{2}+4}.

Passo 3

Reconhecemos cada parcela:
  1. \dfrac{s}{s^{2}+4} é a transformada de \cos(2t), pois aqui a=2.
  2. \dfrac{3}{s^{2}+4} = 3\cdot \dfrac{1}{s^{2}+2^{2}} corresponde a 3 vezes a transformada de \sin(2t) dividida por 2.
Em outras palavras,
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{s}{s^{2}+4}\Big\} = \cos(2t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{3}{s^{2}+4}\Big\} = 3\cdot\frac{1}{2}\sin(2t) = \frac{3}{2}\sin(2t).

Passo 4

Pela linearidade, somamos as inversas encontradas:
f(t) = \cos(2t) + \frac{3}{2}\sin(2t).

Resposta

f(t) = \cos(2t) + \frac{3}{2}\sin(2t).

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