Deseja-se que a resposta y(t) ao degrau unitário, de um sistema estável, inicialmente em repouso, apresente as seguintes características:
  • O valor em regime permanente de y(t) seja igual a 5 ;
  • Não haja sobre-sinal;
  • O tempo de acomodação em 5 \% do valor final seja inferior a 300 s;
  • A derivada \left.\frac{d y(t)}{d t}\right|_{t=0} seja inferior a 0,07 .
Apresente uma função de transferência de um sistema que satisfaça as características acima, justificando a escolha.

Passo 1

O enunciado pede uma função de transferência de um sistema estável (inicialmente em repouso) cuja resposta a um degrau unitário satisfaça:
1. valor em regime permanente y(\infty)=5,
2. sem sobre-sinal (overshoot),
3. tempo de acomodação a 5\% inferior a 300,s,
4. derivada inicial \left.\frac{dy(t)}{dt}\right|_{t=0}<0,07.
Como não se admite overshoot, podemos usar um sistema de primeira ordem
G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\,.
Para um degrau unitário R(s)=1/s, tem-se
Y(s)=G(s)\,R(s)=\frac{K}{(\tau s+1)\,s} \quad\Longrightarrow\quad y(\infty)=K.
Logo, para atender ao regime permanente y(\infty)=5, escolhemos
K=5.

Passo 2

Em um sistema de primeira ordem, o tempo de acomodação a 5\% do valor final é
T_{a5\%}=3\tau
e não há sobre-sinal (é monótono). A condição T_{a5\%}<300,s impõe
3\tau<300 \quad\Longrightarrow\quad \tau<100\text{ s}.

Passo 3

A derivada inicial da resposta ao degrau para um sistema de primeira ordem é
\left.\frac{dy(t)}{dt}\right|_{t=0} =\frac{K}{\tau}.
Queremos
\frac{K}{\tau}<0,07 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{\tau}<0,07 \quad\Longrightarrow\quad \tau>\frac{5}{0,07}\approx71{,}43\text{ s}.

Passo 4

Juntando as duas desigualdades em \tau:
71{,}43<\tau<100.
Para dar uma boa margem de segurança, podemos escolher, por exemplo,
\tau=80\text{ s}.

Passo 5

Substituindo K=5 e \tau=80 em
G(s)=\frac{K}{\tau s+1}
obtemos
\boxed{G(s)=\frac{5}{80\,s+1}.}

Resposta

G(s)= \dfrac{5}{80\,s+1}, que garante
\bullet y(\infty)=5,
\bullet sem overshoot (é sistema de 1ª ordem),
\bullet T_{a5\%}=3\cdot80=240<300,s,
\bullet \left.\frac{dy}{dt}\right|_{0}=5/80=0,0625<0,07.

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