Considere um sistema linear, invariante no tempo, representado por:
\begin{aligned} & \dot{x}(t)=\left[\begin{array}{cc} -1-a & 1 \\\\ -1 & 1-a \end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{l} 1 \\\ b \end{array}\right] u(t) \\\ & y(t)=\left[\begin{array}{ll} c & 1 \end{array}\right] x(t)+2 u(t) \end{aligned}
(a) Determine os valores das constantes a, b e c para que o sistema seja controlável e para que o sistema seja observável.
(b) Para a=2, b=1 e c=-1. determine, caso haja, os autovalores não controláveis e os autovalores não observáveis.
Pede em (a) as condições em a,b,c para controlabilidade e observabilidade, e em (b) para a=2,b=1,c=-1 os autovalores não controláveis e não observáveis. Vamos usar os testes de Kalman (matriz de controlabilidade e observabilidade) e o teste de PBH para localizar modos não controláveis/observáveis.
(a) O sistema é controlável se and only if b\neq1. O sistema é observável se and only if c\neq-1.
(b) Para a=2,b=1,c=-1, o único autovalor não controlável é \lambda=-2 e o único autovalor não observável é também \lambda=-2.