Considere um sistema linear, invariante no tempo, representado por:
\begin{aligned} & \dot{x}(t)=\left[\begin{array}{cc} -1-a & 1 \\\\ -1 & 1-a \end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{l} 1 \\\ b \end{array}\right] u(t) \\\ & y(t)=\left[\begin{array}{ll} c & 1 \end{array}\right] x(t)+2 u(t) \end{aligned}
(a) Determine os valores das constantes a, b e c para que o sistema seja controlável e para que o sistema seja observável.
(b) Para a=2, b=1 e c=-1. determine, caso haja, os autovalores não controláveis e os autovalores não observáveis.

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI de dimensão 2
\dot x(t)=A\,x(t)+B\,u(t),\quad y(t)=C\,x(t)+2\,u(t)
com
A=\begin{pmatrix}-1-a&1\\\ -1&1-a\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1\b\end{pmatrix},\quad C=(c\;\;1).
Pede em (a) as condições em a,b,c para controlabilidade e observabilidade, e em (b) para a=2,b=1,c=-1 os autovalores não controláveis e não observáveis. Vamos usar os testes de Kalman (matriz de controlabilidade e observabilidade) e o teste de PBH para localizar modos não controláveis/observáveis.

Passo 2

Matriz de controlabilidade
\mathcal C=[\,B\;\;A\,B\,],
com
A\,B =\begin{pmatrix}-1-a&1\\\ -1&1-a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}b-(a+1)\b-ab-1\end{pmatrix}.
Logo
\mathcal C =\begin{pmatrix} 1 & b-a-1\\\ b & b-ab-1 \end{pmatrix},
e
\det\mathcal C =-(b-1)^2.
Para controlabilidade é necessário \det\mathcal C\neq0, ou seja
b\neq1.

Passo 3

Matriz de observabilidade
\mathcal O=\begin{pmatrix}C\C\,A\end{pmatrix},
onde
C\,A =(c\;\;1) \begin{pmatrix}-1-a&1\\\ -1&1-a\end{pmatrix} =( -c(a+1)-1\;\;,\;c+1-a ).
Portanto
\mathcal O =\begin{pmatrix} c & 1\\\\ -\,c(a+1)-1 & c+1-a \end{pmatrix}, \quad \det\mathcal O=(c+1)^2.
Para observabilidade é preciso \det\mathcal O\neq0, ou seja
c\neq-1.

Passo 4

Agora em (b) tome a=2,b=1,c=-1. A matriz de estado fica
A=\begin{pmatrix}-3&1\\\ -1&-1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) =(\lambda+2)^2,
logo o único autovalor é \lambda=-2 (multiplicidade 2). Como já vimos em (a) para b=1 o sistema não é controlável, aplicamos o teste de PBH:
\operatorname{rank}[\,A-(-2)I\;\;B\,] <2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=-2
é não controlável.

Passo 5

De modo análogo, para c=-1 o sistema não é observável e o teste de PBH para observação
\operatorname{rank}\begin{pmatrix}A-(-2)I\C\end{pmatrix} <2
mostra que o mesmo \lambda=-2 é não observável.

Resposta

(a) O sistema é controlável se and only if b\neq1. O sistema é observável se and only if c\neq-1.
(b) Para a=2,b=1,c=-1, o único autovalor não controlável é \lambda=-2 e o único autovalor não observável é também \lambda=-2.

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