Para cada 1000 m de altura, a pressão atmosférica decresce 11,5 \%.
Sabendo que a pressão ao nível do mar é 760 torricelis, encontre a expressão para a pressāo P(h) em torricelis, como funçāo da altura h em metros.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: para cada 1000 m de aumento de altitude, a pressão atmosférica decresce 11{,}5\%.
  • Dado: pressão ao nível do mar (altura h=0) é 760 torr.
  • Pedido: encontrar a expressão de P(h) em torr, função da altura h em metros.
Informações relevantes que vou usar (retiradas do enunciado):
  • A cada 1000 m a pressão é multiplicada por um fator (1-0{,}115)=0{,}885.
  • A pressão no nível do mar é P(0)=760.

Passo 2

Modelagem por redução geométrica (ideia fundamental)
  • Quando algo decresce sempre pela mesma proporção a cada intervalo fixo, modela-se por uma progressão geométrica (decrescimento exponencial).
  • Se a cada 1000 m a pressão é multiplicada por 0{,}885, então após n blocos de 1000 m a pressão seria
P_n = 760\cdot 0{,}885^{\,n},
onde n é o número de blocos de 1000 m. Aqui n é um número inteiro quando se fala de múltiplos exatos de 1000 m.

Passo 3

Passando de blocos de 1000 m para altura contínua h metros
  • Se a altura é h metros, o número de blocos de 1000 m é \dfrac{h}{1000}.
  • Substituindo n=\dfrac{h}{1000} na fórmula anterior obtemos a expressão válida para qualquer h\ge0:
P(h)=760\cdot 0{,}885^{\,h/1000}.
  • Aqui P(h) é a pressão em torr e h é a altura em metros. A potência pode ser fracionária (por exemplo para h=500 temos expoente 0{,}5) — isso é matematicamente válido porque a^{x} está definido para a>0 e x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Forma equivalente usando exponencial natural (útil para interpretação contínua)
  • Lembrando que, para qualquer a>0, vale a^{x}=e^{x\ln a}. Aplicando aqui:
0{,}885^{\,h/1000}=\exp\!\left(\dfrac{h\ln(0{,}885)}{1000}\right).
  • Assim uma forma alternativa da mesma função é
P(h)=760\exp\!\left(\dfrac{h\ln(0{,}885)}{1000}\right).
  • Nesta forma fica explícito o “coeficiente de decaimento por metro” k=\dfrac{\ln(0{,}885)}{1000}, que é negativo (porque \ln(0{,}885)<0) e indica decaimento exponencial contínuo.

Passo 5

Checagem rápida (validação com casos simples)
  • Para h=0 deve dar P(0)=760. Substituindo em P(h)=760\cdot 0{,}885^{h/1000} obtemos P(0)=760\cdot 0{,}885^{0}=760\cdot 1=760. OK.
  • Para h=1000 temos P(1000)=760\cdot 0{,}885 = 672{,}6 torr — isto mostra que a fórmula reproduz a redução de 11{,}5\% a cada 1000 m.

Passo 6

Como usar isso na prova (dicas práticas)
  • Se pedirem valor numérico para uma altura específica: calcular o expoente h/1000 e depois 0{,}885^{\,h/1000}. Para expoentes inteiros (multiplicidade de 1000 m) pode multiplicar sucessivamente por 0{,}885.
  • Se for preciso trabalhar com derivadas/integral ou taxa por metro, prefira a forma exponencial com \exp e k=\dfrac{\ln(0{,}885)}{1000} porque facilita manipulações analíticas.
  • Anote sempre que h está em metros e a pressão resultante fica em torr.

Resposta

P(h)=760\cdot 0{,}885^{\,h/1000}
P(h)=760\exp\!\left(\dfrac{h\ln(0{,}885)}{1000}\right)

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