Para cada 1000 m de altura, a pressão atmosférica decresce
.
Sabendo que a pressão ao nível do mar é 760 torricelis, encontre a expressão para a pressāo
em torricelis, como funçāo da altura h em metros.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: para cada
m de aumento de altitude, a pressão atmosférica decresce . - Dado: pressão ao nível do mar (altura
) é torr. - Pedido: encontrar a expressão de
em torr, função da altura em metros.
Informações relevantes que vou usar (retiradas do enunciado):
- A cada
m a pressão é multiplicada por um fator . - A pressão no nível do mar é
.
Passo 2
Modelagem por redução geométrica (ideia fundamental)
- Quando algo decresce sempre pela mesma proporção a cada intervalo fixo, modela-se por uma progressão geométrica (decrescimento exponencial).
- Se a cada
m a pressão é multiplicada por , então após blocos de m a pressão seria
onde
é o número de blocos de
m. Aqui
é um número inteiro quando se fala de múltiplos exatos de
m.
Passo 3
Passando de blocos de
m para altura contínua
metros
- Se a altura é
metros, o número de blocos de m é . - Substituindo
na fórmula anterior obtemos a expressão válida para qualquer :
- Aqui
é a pressão em torr e é a altura em metros. A potência pode ser fracionária (por exemplo para temos expoente ) — isso é matematicamente válido porque está definido para e .
Passo 4
Forma equivalente usando exponencial natural (útil para interpretação contínua)
- Lembrando que, para qualquer
, vale . Aplicando aqui:
- Assim uma forma alternativa da mesma função é
- Nesta forma fica explícito o “coeficiente de decaimento por metro”
, que é negativo (porque ) e indica decaimento exponencial contínuo.
Passo 5
Checagem rápida (validação com casos simples)
- Para
deve dar . Substituindo em obtemos . OK. - Para
temos torr — isto mostra que a fórmula reproduz a redução de a cada m.
Passo 6
Como usar isso na prova (dicas práticas)
- Se pedirem valor numérico para uma altura específica: calcular o expoente
e depois . Para expoentes inteiros (multiplicidade de m) pode multiplicar sucessivamente por . - Se for preciso trabalhar com derivadas/integral ou taxa por metro, prefira a forma exponencial com
e porque facilita manipulações analíticas. - Anote sempre que
está em metros e a pressão resultante fica em torr.