Cada afirmação nos Exercícios 33 a 38 é verdadeira (em todos os casos) ou falsa (para pelo menos um exemplo). Se for falsa, construa um exemplo particular mostrando que a afirmação nem sempre é verdadeira. Tal exemplo é chamado um contraexemplo para a afirmação. Se for verdadera, justifique.
33. Se
estiverem em
e
, então
será linearmente dependente.
33. Se
Passo 1
O enunciado diz que temos quatro vetores
com a relação
. O conteúdo aqui é dependência linear: vamos usar a definição de conjunto linearmente dependente, que exige encontrar escalares não todos nulos cujas combinações lineares dos vetores dêem o vetor zero.
Passo 2
Pela definição,
é linearmente dependente se existem escalares
, nem todos zero, tais que
Como temos
, basta escolher coeficientes que incorporem essa relação.
Passo 3
Substituindo
na combinação linear, notamos que
Aqui os coeficientes
não são todos zero, logo existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois a relação
mostra dependência linear do conjunto.