Cada afirmação nos Exercícios 33 a 38 é verdadeira (em todos os casos) ou falsa (para pelo menos um exemplo). Se for falsa, construa um exemplo particular mostrando que a afirmação nem sempre é verdadeira. Tal exemplo é chamado um contraexemplo para a afirmação. Se for verdadera, justifique.
33. Se v1, ldots, v4 estiverem em R^4 e v3=2 v1+v2, então v1, v2, v3, v4 será linearmente dependente.

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro vetores v1,v2,v3,v4inR^4 com a relação v3=2v1+v2. O conteúdo aqui é dependência linear: vamos usar a definição de conjunto linearmente dependente, que exige encontrar escalares não todos nulos cujas combinações lineares dos vetores dêem o vetor zero.

Passo 2

Pela definição, v1,v2,v3,v4 é linearmente dependente se existem escalares c1,c2,c3,c4, nem todos zero, tais que
c1v1+c2v2+c3v3+c4v4=0
Como temos v3=2v1+v2, basta escolher coeficientes que incorporem essa relação.

Passo 3

Substituindo v3 na combinação linear, notamos que
2v1+1v2-1v3+0v4 =2v1+v2-l(2v1+v2r)+0v4 =0
Aqui os coeficientes (2,1,-1,0) não são todos zero, logo existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois a relação
2v1+v2-v3+0v4=0
mostra dependência linear do conjunto.

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