Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta com base em uma leitura cuidadosa do texto.
21. a. As colunas de uma matriz
são linearmente independentes se a equação
tiver a solução trivial.
b. Se
for um conjunto linearmente dependente, então cada vetor será uma combinação linear dos outros vetores
.
c. As colunas de qualquer matriz
são linearmente dependentes.
d. Se
forem linearmente independentes e se
for linearmente dependente, então
pertencerá a
.
21. a. As colunas de uma matriz
b. Se
c. As colunas de qualquer matriz
d. Se
Passo 1
O enunciado explora o conceito de independência linear de vetores e, em particular, das colunas de uma matriz. Vamos usar:
. Definição: um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única solução de
for
para todo
. Caso contrário, é linearmente dependente.
. Teorema das colunas: as colunas de uma matriz
são independentes se, e somente se, a única solução de
for a trivial.
. Argumento de dimensão: em
, qualquer conjunto com mais de
vetores é dependente.
. Propriedade de dependência em conjuntos: num conjunto dependente existe pelo menos um vetor que é combinação linear dos demais, mas isso não precisa valer para cada vetor.
Passo 2
(a) As colunas de
são independentes
a única solução de
é
.
Isto é exatamente a definição de independência das colunas via núcleo de .
Isto é exatamente a definição de independência das colunas via núcleo de
Passo 3
(b) Ser linearmente dependente significa que existe \emph{algum} vetor de
que é combina\c{c}~ao linear dos outros. N~ao exige que \emph{cada} vetor de
seja combina\c{c}~ao dos demais. Por exemplo, em
s’o
e
est~ao envolvidos na depend^encia;
n~ao 'e combina\c{c}~ao dos outros dois que dependem.
Passo 4
(c) Em
, qualquer conjunto com
vetores é necessariamente dependente, pois o espaço tem dimensão
e não comporta mais de
vetores independentes.
Passo 5
(d) Se
é independente e
é dependente, existe relação não-trivial
Não pode ser
, pois isso violaria a independência de
. Logo
e
isto é,
.
Resposta
a. Verdadeira
b. Falsa
c. Verdadeira
d. Verdadeira
b. Falsa
c. Verdadeira
d. Verdadeira