Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta com base em uma leitura cuidadosa do texto.
21. a. As colunas de uma matriz A são linearmente independentes se a equação A x=0 tiver a solução trivial.
b. Se S for um conjunto linearmente dependente, então cada vetor será uma combinação linear dos outros vetores em S.
c. As colunas de qualquer matriz 4 times 5 são linearmente dependentes.
d. Se x e y forem linearmente independentes e se x, y, z for linearmente dependente, então z pertencerá a mathscrLx, y.

Passo 1

O enunciado explora o conceito de independência linear de vetores e, em particular, das colunas de uma matriz. Vamos usar:
1. Definição: um conjunto de vetores S é linearmente independente se a única solução de
sumi alphai vi = 0
for alphai=0 para todo i. Caso contrário, é linearmente dependente.
2. Teorema das colunas: as colunas de uma matriz A são independentes se, e somente se, a única solução de Ax=0 for a trivial.
3. Argumento de dimensão: em R^n, qualquer conjunto com mais de n vetores é dependente.
4. Propriedade de dependência em conjuntos: num conjunto dependente existe pelo menos um vetor que é combinação linear dos demais, mas isso não precisa valer para cada vetor.

Passo 2

(a) As colunas de A são independentes iff a única solução de
Ax=0
é x=0.
Isto é exatamente a definição de independência das colunas via núcleo de A.

Passo 3

(b) Ser linearmente dependente significa que existe \emph{algum} vetor de S que é combina\c{c}~ao linear dos outros. N~ao exige que \emph{cada} vetor de S seja combina\c{c}~ao dos demais. Por exemplo, em (1,0),(0,1),(1,1),(2,2) s’o (1,1) e (2,2) est~ao envolvidos na depend^encia; (1,0) n~ao 'e combina\c{c}~ao dos outros dois que dependem.

Passo 4

(c) Em R^4, qualquer conjunto com 5 vetores é necessariamente dependente, pois o espaço tem dimensão 4 e não comporta mais de 4 vetores independentes.

Passo 5

(d) Se x,y é independente e x,y,z é dependente, existe relação não-trivial
alpha,x+beta,y+gamma,z=0
Não pode ser gamma=0, pois isso violaria a independência de x,y. Logo gammaneq0 e
z = -alphagammax - betagammay,
isto é, zinmathscrLx,y.

Resposta

a. Verdadeira
b. Falsa
c. Verdadeira
d. Verdadeira

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