Se v1, ldots, v4 for um conjunto de vetores linearmente independente em R^4, então v1, vy, v3 também será linearmente independente. [Sugestão: Considere x1 v1+x2 v2+x3 v3+0 cdot v4=0.]

Passo 1

O enunciado diz que v1, v2, v3, v4 é um conjunto de vetores linearmente independente em R^4 e pede para mostrar que a subcoleção v1, v2, v3 também é linearmente independente. O conteúdo é a definição de independência linear e o que vamos usar é o fato de que, num conjunto independente, a única combinação linear que gera o vetor nulo é a trivial.

Passo 2

Para testar a independência de v1, v2, v3, consideramos uma combinação linear geral que dê o vetor nulo:
x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 = 0
Queremos provar que dessa igualdade decorre x1=x2=x3=0.

Passo 3

Reescrevemos a combinação acima acrescentando 0cdot v4:
x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 + 0cdot v4 = 0
Como v1, v2, v3, v4 é linearmente independente, todos os coeficientes desta combinação devem ser zero. Logo,
x1=0, x2=0, x3=0, 0=0

Passo 4

Concluímos que a única forma de obter 0 é com os coeficientes x1=x2=x3=0. Portanto, v1, v2, v3 é linearmente independente.

Resposta

v1, v2, v3 é linearmente independente.

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