Se
for um conjunto de vetores linearmente independente em
, então
também será linearmente independente. [Sugestão: Considere
.]
Passo 1
O enunciado diz que
é um conjunto de vetores linearmente independente em
e pede para mostrar que a subcoleção
também é linearmente independente. O conteúdo é a definição de independência linear e o que vamos usar é o fato de que, num conjunto independente, a única combinação linear que gera o vetor nulo é a trivial.
Passo 2
Para testar a independência de
, consideramos uma combinação linear geral que dê o vetor nulo:
Queremos provar que dessa igualdade decorre
.
Passo 3
Reescrevemos a combinação acima acrescentando
:
Como
é linearmente independente, todos os coeficientes desta combinação devem ser zero. Logo,
Passo 4
Concluímos que a única forma de obter
é com os coeficientes
. Portanto,
é linearmente independente.