Para cada afirmação, justifique a atribuição de V ou F.
Se os conjuntos A, B, C, D são subconjuntos de S=\{1,2,3\}, tais que |A|=|B|=|C|=|D|=2, então ao menos dois desses conjuntos são iguais.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos quatro conjuntos A, B, C e D, todos subconjuntos de S=\{1,2,3\} com |A|=|B|=|C|=|D|=2. O conteúdo aqui envolve contagem de combinações e o princípio da casa dos pombos, pois queremos mostrar que, tendo mais conjuntos do que possibilidades, algum par se repete.

Passo 2

Vamos contar quantos subconjuntos de tamanho 2 existem em S. Pelo número de combinações de 3 elementos tomados 2 a 2,
\binom{3}{2} = 3.
Portanto, só existem três possíveis subconjuntos de tamanho 2 de S.

Passo 3

Aplicando o princípio da casa dos pombos: temos 4 conjuntos (pombos) e apenas 3 subconjuntos distintos de tamanho 2 (caixas). Logo, obrigatoriamente, dois desses conjuntos ocupam a mesma caixa, ou seja, são iguais.

Resposta

V

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