Considere
e
inteiros.
Mostre que:
ímpar
ou
par.
Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados inteiros
e
, se a soma dos quadrados
é ímpar, então pelo menos um entre
e
é par. O conteúdo aqui é aritmética de congruências módulo 2 e definição de número par e ímpar.
Passo 2
Vamos usar a propriedade básica da paridade de quadrados:
- Se um inteiro
é par, então e
- Se um inteiro
é ímpar, então e
Ou seja, número par ao quadrado é congruente a
módulo 2, e número ímpar ao quadrado é congruente a
módulo 2.
Passo 3
Analisamos todas as possibilidades de paridade de
e
:
- Se
e forem ambos pares, então
ou seja,
é par, contradizendo a hipótese de ser ímpar.
- Se
e forem ambos ímpares, então
novamente
seria par, o que também contradiz a hipótese.
- Logo, a única forma de
ser ímpar é que um dos quadrados seja e o outro seja . Isto significa que exatamente um entre e é par e o outro é ímpar.
Resposta
Portanto, se
é ímpar, então um dos inteiros
ou
é par.