Considere a e b inteiros.
Mostre que: a^{2}+b^{2} ímpar \Rightarrow a ou b par.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados inteiros a e b, se a soma dos quadrados a^{2}+b^{2} é ímpar, então pelo menos um entre a e b é par. O conteúdo aqui é aritmética de congruências módulo 2 e definição de número par e ímpar.

Passo 2

Vamos usar a propriedade básica da paridade de quadrados:
  1. Se um inteiro n é par, então n=2k e
n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}\equiv 0\pmod{2}.
  1. Se um inteiro n é ímpar, então n=2k+1 e
n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1\equiv 1\pmod{2}.
Ou seja, número par ao quadrado é congruente a 0 módulo 2, e número ímpar ao quadrado é congruente a 1 módulo 2.

Passo 3

Analisamos todas as possibilidades de paridade de a e b:
  • Se a e b forem ambos pares, então
a^{2}+b^{2}\equiv 0+0=0\pmod{2},
ou seja, a^{2}+b^{2} é par, contradizendo a hipótese de ser ímpar.
  • Se a e b forem ambos ímpares, então
a^{2}+b^{2}\equiv 1+1=2\equiv 0\pmod{2},
novamente a^{2}+b^{2} seria par, o que também contradiz a hipótese.
  • Logo, a única forma de a^{2}+b^{2} ser ímpar é que um dos quadrados seja 0\pmod{2} e o outro seja 1\pmod{2}. Isto significa que exatamente um entre a e b é par e o outro é ímpar.

Resposta

Portanto, se a^{2}+b^{2} é ímpar, então um dos inteiros a ou b é par.

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