Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, justifique ou dê um contraexemplo.
Seja A uma matriz m \times n. Seja P uma matriz n \times n invertível. O espaço coluna \operatorname{Col}(A P) é igual ao espaço coluna \operatorname{Col}(A).

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a igualdade dos espaços coluna de A P e de A, onde A é m\times n e P é invertível n\times n. O conteúdo é teoria de espaços coluna (ou imagem) de matrizes e o efeito de multiplicar à direita por matriz invertível. Vamos usar a definição
\Col(M) = \{\,M\,x \mid x\in\mathbb{R}^n\}
para comparar \Col(A P) e \Col(A).

Passo 2

Mostramos primeiro \Col(A P)\subseteq\Col(A). Tome um vetor arbitrário y\in\Col(A P). Então existe x\in\mathbb{R}^n tal que
y = (A P)\,x = A\,(P\,x).
Como P\,x também é um vetor em \mathbb{R}^n, concluímos que y\in\Col(A). Logo
\Col(A P)\subseteq\Col(A).

Passo 3

Agora provamos \Col(A)\subseteq\Col(A P). Como P é invertível, para cada vetor z\in\mathbb{R}^n existe w = P^{-1}z. Dado um vetor arbitrário v\in\Col(A), existe z\in\mathbb{R}^n com
v = A\,z.
Então escrevemos
v = A\,z = A\bigl(P\,(P^{-1}z)\bigr) = (A P)\,(P^{-1}z),
o que mostra que v\in\Col(A P). Portanto
\Col(A)\subseteq\Col(A P).

Passo 4

Combinando as duas inclusões, obtemos
\Col(A P) = \Col(A).

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois multiplicar uma matriz A à direita por uma matriz invertível P gera combinações lineares das colunas de A capazes de recuperar exatamente o mesmo subespaço coluna.

Exercícios relacionados