Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, justifique ou dê um contraexemplo.
Seja
uma matriz
. Seja
uma matriz
invertível. O espaço coluna
é igual ao espaço coluna
.
Seja
Passo 1
O enunciado pergunta sobre a igualdade dos espaços coluna de
e de
, onde
é
e
é invertível
. O conteúdo é teoria de espaços coluna (ou imagem) de matrizes e o efeito de multiplicar à direita por matriz invertível. Vamos usar a definição
para comparar
e
.
Passo 2
Mostramos primeiro
. Tome um vetor arbitrário
. Então existe
tal que
Como
também é um vetor em
, concluímos que
. Logo
Passo 3
Agora provamos
. Como
é invertível, para cada vetor
existe
. Dado um vetor arbitrário
, existe
com
Então escrevemos
o que mostra que
. Portanto
Passo 4
Combinando as duas inclusões, obtemos
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois multiplicar uma matriz
à direita por uma matriz invertível
gera combinações lineares das colunas de
capazes de recuperar exatamente o mesmo subespaço coluna.