Sejam \mathbf{u}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} vetores tais que \alpha=\left\{\mathbf{u}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\} e \beta=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{u}\right\} são bases de um espaço vetorial V. Sabe-se que \mathbf{u}_{2}=\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2} e \mathbf{u}_{3}=\mathbf{v}_{1}-2 \mathbf{v}_{2}.
(a) (\mathbf{1}, \mathbf{0} ponto) Encontre a matriz de mudaça de base de \alpha para \beta.
(b) (0,8 ponto) Encontre a matriz de mudaça de base de \beta para \alpha.
(c) \left(0,7\right. ponto) Obtenha a matriz de coordenadas [\mathbf{v}]_{\alpha} sabendo que \mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{v}_{1}+2 \mathbf{v}_{2}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases de V, \alpha=\{\mathbf{u},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\} e \beta=\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{u}\},
com as relações
O conteúdo é mudança de base: em (a) queremos a matriz que leva coordenadas em \alpha para coordenadas em \beta; em (b) a inversa; em (c) aplicar essa mudança a um vetor dado.
Passo 2
Para construir a matriz de mudança de base de \alpha para \beta, exprimimos cada vetor de \alpha em coordenadas da base \beta.
\mathbf{u}=0\,\mathbf{v}_{1}+0\,\mathbf{v}_{2}+1\,\mathbf{u}, ou seja coluna \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
A matriz de mudança de \beta para \alpha é a inversa de P_{\beta\leftarrow\alpha}. Calculando \bigl(P_{\beta\leftarrow\alpha}\bigr)^{-1} por qualquer método (adjunta ou sistema), obtemos
Para achar [\mathbf{v}]_{\alpha} dado \mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{v}_{1}+2\mathbf{v}_{2}, primeiro vemos que em coordenadas de \beta temos \mathbf{v}=1\,\mathbf{v}_{1}+2\,\mathbf{v}_{2}+1\,\mathbf{u}, ou [\mathbf{v}]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.
Para passar a \alpha multiplicamos: