Sejam \mathbf{u}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} vetores tais que \alpha=\left\{\mathbf{u}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\} e \beta=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{u}\right\} são bases de um espaço vetorial V. Sabe-se que \mathbf{u}_{2}=\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2} e \mathbf{u}_{3}=\mathbf{v}_{1}-2 \mathbf{v}_{2}.
(a) (\mathbf{1}, \mathbf{0} ponto) Encontre a matriz de mudaça de base de \alpha para \beta.
(b) (0,8 ponto) Encontre a matriz de mudaça de base de \beta para \alpha.
(c) \left(0,7\right. ponto) Obtenha a matriz de coordenadas [\mathbf{v}]_{\alpha} sabendo que \mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{v}_{1}+2 \mathbf{v}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de V,
\alpha=\{\mathbf{u},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\} e
\beta=\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{u}\},
com as relações
\mathbf{u}_{2}=\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2},\qquad \mathbf{u}_{3}=\mathbf{v}_{1}-2\mathbf{v}_{2}.
O conteúdo é mudança de base: em (a) queremos a matriz que leva coordenadas em \alpha para coordenadas em \beta; em (b) a inversa; em (c) aplicar essa mudança a um vetor dado.

Passo 2

Para construir a matriz de mudança de base de \alpha para \beta, exprimimos cada vetor de \alpha em coordenadas da base \beta.
  1. \mathbf{u}=0\,\mathbf{v}_{1}+0\,\mathbf{v}_{2}+1\,\mathbf{u}, ou seja coluna \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
  2. \mathbf{u}_{2}=\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2}, coluna \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
  3. \mathbf{u}_{3}=\mathbf{v}_{1}-2\mathbf{v}_{2}, coluna \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}.
    Portanto
P_{\beta\leftarrow\alpha} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & -2\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz de mudança de \beta para \alpha é a inversa de P_{\beta\leftarrow\alpha}. Calculando \bigl(P_{\beta\leftarrow\alpha}\bigr)^{-1} por qualquer método (adjunta ou sistema), obtemos
P_{\alpha\leftarrow\beta} =\bigl(P_{\beta\leftarrow\alpha}\bigr)^{-1} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para achar [\mathbf{v}]_{\alpha} dado \mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{v}_{1}+2\mathbf{v}_{2}, primeiro vemos que em coordenadas de \beta temos
\mathbf{v}=1\,\mathbf{v}_{1}+2\,\mathbf{v}_{2}+1\,\mathbf{u}, ou
[\mathbf{v}]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.
Para passar a \alpha multiplicamos:
[\mathbf{v}]_{\alpha} = P_{\alpha\leftarrow\beta}\,[\mathbf{v}]_{\beta} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 4\\\ -3\end{pmatrix}.

Resposta

(a) P_{\beta\leftarrow\alpha} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & -2\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
(b) P_{\alpha\leftarrow\beta} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
(c) [\mathbf{v}]_{\alpha} =\begin{pmatrix}1\\\ 4\\\ -3\end{pmatrix}.

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