Seja A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 0 & -1 & 0 \\\\ -1 & -2 & 2 & -3 & -2 \\\\ 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & -4 & 0\end{array}\right]. Sabe-se que A \sim\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
(a) (\mathbf{0}, \mathbf{5} ponto) Encontre um vetor \mathbf{v} que não pertence ao espaço coluna de A.
(b) ( 0,5 ponto) Determine uma base \mathcal{C} para o espaço coluna de A.
(c) \left(0,5\right. ponto) Conclua que o conjunto formado pela união de \{\mathbf{v}\} e \mathcal{C} define una base de \mathbb{R}^{4}.
(d) (0,5 ponto) Determine uma base \mathcal{N} para o espaço nulo de A.
(e) ( 0,5 ponto) Determine uma base \mathcal{L} para o espaço linha de A.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{4\times5} e informa que, por eliminação de linhas, obtemos a forma escalonada
Como os pivôs estão nas colunas 1, 3 e 5, o posto de A é 3. Precisamos:
(a) dar um vetor em \mathbb{R}^4 que não esteja no espaço coluna de A (dimensão 3),
(b) encontrar uma base \mathcal{C} do espaço coluna,
(c) mostrar que juntando esse vetor a \mathcal{C} obtemos uma base de \mathbb{R}^4,
(d) achar uma base \mathcal{N} do núcleo de A,
(e) achar uma base \mathcal{L} do espaço linha de A.
Passo 2
(a) Espaço coluna de A tem dimensão 3 e todos os vetores nele têm como quarta componente um múltiplo de 2 (porque, na forma escalonada, a única linha que envolve a quarta coordenada é a segunda, que só gera a contribuição na terceira linha de E). Assim, qualquer vetor cuja quarta componente seja 1 não pode estar no espaço coluna. Por exemplo,