Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, justifique ou dê um contraexemplo.
Se \{(1,0,-2) ;(-1,1,0)\} é base de V, então \{(1,1,-4) ;(0,1,-2)\} também é base de V.

Passo 1

O enunciado diz que
u=(1,0,-2),\quad v=(-1,1,0)
formam base de V. Queremos ver se
w_1=(1,1,-4),\quad w_2=(0,1,-2)
também formam base de V. Como \dim V=2, basta mostrar que w_1,w_2\in V e que são linearmente independentes.

Passo 2

Para verificar que w_1\in V, escrevemos
a\,u + b\,v \;=\;(1,1,-4)
ou seja
a(1,0,-2) + b(-1,1,0) = (1,1,-4).

Passo 3

Esse último dá o sistema
\begin{cases} a - b = 1,\\\ b = 1,\\\\ -2a = -4. \end{cases}
Da segunda equação b=1. Da terceira segue a=2, e 2-1=1 satisfaz a primeira. Logo
w_1 = 2u + v\in V.

Passo 4

De modo análogo, para w_2\) resolvemos \[a\,u + b\,v = (0,1,-2),
que gera
\begin{cases} a - b = 0,\\\ b = 1,\\\\ -2a = -2. \end{cases}
Daí b=1\], \(a=1 e 1-1=0, logo
w_2 = u + v\in V.

Passo 5

Agora checamos independência linear: suponha
\alpha\,w_1 + \beta\,w_2 = (0,0,0).
Isso equivale ao sistema
\begin{cases} \alpha = 0,\\\ \alpha + \beta = 0,\\\\ -4\alpha -2\beta = 0. \end{cases}
Da primeira \alpha=0; da segunda \beta=0. Logo w_1 e w_2 são LI.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois w_1,w_2\in V e são linearmente independentes, formando assim base de V.

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