Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, justifique ou dê um contraexemplo.
Se \{(1,0,-2) ;(-1,1,0)\} é base de V, então \{(1,1,-4) ;(0,1,-2)\} também é base de V.
Passo 1
O enunciado diz que
u=(1,0,-2),\quad v=(-1,1,0)
formam base de V. Queremos ver se
w_1=(1,1,-4),\quad w_2=(0,1,-2)
também formam base de V. Como \dim V=2, basta mostrar que w_1,w_2\in V e que são linearmente independentes.
Passo 2
Para verificar que w_1\in V, escrevemos
a\,u + b\,v \;=\;(1,1,-4)
ou seja
a(1,0,-2) + b(-1,1,0) = (1,1,-4).
Passo 3
Esse último dá o sistema
\begin{cases} a - b = 1,\\\ b = 1,\\\\ -2a = -4. \end{cases}
Da segunda equação b=1. Da terceira segue a=2, e 2-1=1 satisfaz a primeira. Logo
w_1 = 2u + v\in V.
Passo 4
De modo análogo, para w_2\) resolvemos
\[a\,u + b\,v = (0,1,-2),
que gera
\begin{cases} a - b = 0,\\\ b = 1,\\\\ -2a = -2. \end{cases}