Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, justifique ou dê um contraexemplo.
O subespaço \left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x=y+z\right\} tem dimensão 2 .

Passo 1

O enunciado considera o subespaço
V = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x = y + z\},
e pergunta se \dim(V)=2.
O conteúdo envolvido é cálculo de dimensão de subespaço definido por equação linear, usando a fórmula \dim(\ker f)=n-\operatorname{rank}(f) ou representação paramétrica e verificação de independência linear.

Passo 2

Defina a forma linear
f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R},\quad f(x,y,z,w)=x - y - z.
Então
V = \ker(f).
Como f não é a aplicação zero, \operatorname{rank}(f)=1. Pela Teorema da Dimensão do Núcleo e Imagem,
\dim(V) = \dim(\ker f) = 4 - \operatorname{rank}(f) = 4 - 1 = 3.
Alternativamente, podemos parametrizar (x,y,z,w)\in V por variáveis livres y,z,w:
(x,y,z,w) = (y+z,\,y,\,z,\,w) = y\,(1,1,0,0) + z\,(1,0,1,0) + w\,(0,0,0,1).
Os vetores (1,1,0,0), (1,0,1,0) e (0,0,0,1) são linearmente independentes em V, mostrando que \dim(V)=3.

Resposta

Falsa. O subespaço tem dimensão 3, não 2.

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