Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, justifique ou dê um contraexemplo.
O subespaço
tem dimensão 2 .
O subespaço
Passo 1
O enunciado considera o subespaço
e pergunta se
.
O conteúdo envolvido é cálculo de dimensão de subespaço definido por equação linear, usando a fórmula ou representação paramétrica e verificação de independência linear.
O conteúdo envolvido é cálculo de dimensão de subespaço definido por equação linear, usando a fórmula
Passo 2
Defina a forma linear
Então
Como
não é a aplicação zero,
. Pela Teorema da Dimensão do Núcleo e Imagem,
Alternativamente, podemos parametrizar
por variáveis livres
:
Os vetores
,
e
são linearmente independentes em
, mostrando que
.
Resposta
Falsa. O subespaço tem dimensão 3, não 2.