Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, justifique ou dê um contraexemplo.
Não existe uma transformação
com o núcleo de
de dimensão 2 .
Não existe uma transformação
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
cujo núcleo tenha dimensão igual a
. Para responder vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Rank–Nullity Theorem), que relaciona
e
.
Passo 2
Pelo Teorema da Dimensão vale
Se supusermos
, então
Passo 3
Porém
implica
logo não pode ser
. Isso gera uma contradição.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois a hipótese levaria a
, o que é impossível em
.