Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, justifique ou dê um contraexemplo.
Não existe uma transformação T: \mathbb{R}^{7} \rightarrow \mathbb{R}^{4} com o núcleo de T de dimensão 2 .

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
T: \mathbb{R}^{7}\to\mathbb{R}^{4}
cujo núcleo tenha dimensão igual a 2. Para responder vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Rank–Nullity Theorem), que relaciona \dim(\ker T) e \dim(\mathrm{im}\,T).

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão vale
\dim(\ker T)+\dim(\mathrm{im}\,T)=\dim(\mathbb{R}^{7})=7.
Se supusermos \dim(\ker T)=2, então
\dim(\mathrm{im}\,T)=7-2=5.

Passo 3

Porém \mathrm{im}\,T\subseteq\mathbb{R}^{4} implica
\dim(\mathrm{im}\,T)\le4,
logo não pode ser 5. Isso gera uma contradição.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois a hipótese levaria a \dim(\mathrm{im}\,T)=5, o que é impossível em \mathbb{R}^{4}.

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