Para cada uma das afirmações abaixo, classifique entre VERDADEIRA ou FALSA, justificando sua resposta.
(a) (0,5 ponto) Dado um campo de forças conservativo, existe um trabalho realizado por esta força, para deslocar um objeto de um ponto A até um ponto B.
(b) (0,5 ponto) Não existe campo vetorial
(c) (0,5 ponto) Se \vec{F}(x, y)=P(x, y) \vec{i}+Q componentes possuindo derivadas parciais contínuas de todas as ordens, então \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar três afirmações como VERDADEIRA ou FALSA relativas a campos vetoriais em \mathbb{R}^2, trabalho de força e condição de conservatividade. Vamos usar conceitos de integral de linha, potencial e rotação ( \nabla\times\vec F).

Passo 2

(a) “Dado um campo de forças conservativo, existe um trabalho realizado por esta força, para deslocar um objeto de um ponto A até um ponto B.”
Em um campo conservativo existe uma função potencial U tal que \vec F=-\nabla U. O trabalho de A a B é
W_{A\to B}=\int_{A}^{B}\vec F\cdot d\vec r =-\bigl[\,U(B)-U(A)\bigr],
que é bem definido (independente do caminho). Logo, sempre “existe” esse valor de trabalho.
Portanto, a afirmação é VERDADEIRA.

Passo 3

(b) “Não existe campo vetorial.”
Isso é absurdo: há infinitos exemplos de campos vetoriais, como \vec F(x,y)=x\,\vec i+y\,\vec j. Logo a afirmação é manifestamente FALSA.

Passo 4

(c) “Se \vec F(x,y)=P(x,y)\,\vec i+Q(x,y)\,\vec j tem componentes com derivadas parciais contínuas de todas as ordens, então \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}.”
A igualdade \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y corresponde à condição de campo irrotacional ( \nabla\times\vec F=0), necessária (e em domínios simplesmente conexos também suficiente) para conservatividade. Mas sem assumir que \vec F seja conservativo, essa igualdade nem sempre vale. Podemos tomar por exemplo P=x, Q=0, em que \partial Q/\partial x=0 e \partial P/\partial y=0 acidentalmente coincidem, mas alterando levemente Q a igualdade falha. Portanto, sem hipótese de conservatividade a afirmação é FALSA.

Resposta

(a) VERDADEIRA
(b) FALSA
(c) FALSA

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