Questão 3.(2.0) a) Decida se
definido em
, é campo de gradiente. Justifique.
b) Calcule
onde
é o segmento de reta ligando os pontos
e
.
b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo
definido em
,
,
. Pede (a) decidir se é campo de gradiente e (b) calcular
no segmento de a
. Vamos usar o teste de conservatividade (curl nulo em domínio simplesmente conectado) e, depois, o teorema fundamental para campos gradiente.
no segmento de
Passo 2
Calculamos as derivadas cruzadas de
:
e
,
e
,
e
.
Como todas as diferenças são zero e o domínio é aberto e convexo (logo simplesmente conectado), concluímos que
é conservativo, i.e., campo de gradiente.
Como todas as diferenças são zero e o domínio
Passo 3
Para achar um potencial
satisfazendo
, integramos em etapas:
Em seguida
Por fim
Assim, um potencial válido (até constante) é
Passo 4
Pelo teorema fundamental de campos gradiente:
Calculamos
Logo
Resposta
a) Sim.
é conservativo com potencial
b)