Questão 3.(2.0) a) Decida se
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}+\frac{1}{x}, \ln (y+1), z\right)
definido em x>0, y>-1, z \in \mathbb{R}, é campo de gradiente. Justifique.
b) Calcule
\int_{\alpha} \vec{F}(x, y, z) d s
onde \alpha é o segmento de reta ligando os pontos A=(1,0,2) e B=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(x^2+\tfrac1x,\;\ln(y+1),\;z\bigr)
definido em x>0, y>-1, z\in\mathbb{R}. Pede (a) decidir se é campo de gradiente e (b) calcular
\displaystyle\int_\alpha\vec F\cdot d\vec s
no segmento de A=(1,0,2) a B=(1,1,1). Vamos usar o teste de conservatividade (curl nulo em domínio simplesmente conectado) e, depois, o teorema fundamental para campos gradiente.

Passo 2

Calculamos as derivadas cruzadas de \vec{F}=(P,Q,R):
\frac{\partial P}{\partial y}=0 e \frac{\partial Q}{\partial x}=0,
\frac{\partial P}{\partial z}=0 e \frac{\partial R}{\partial x}=0,
\frac{\partial Q}{\partial z}=0 e \frac{\partial R}{\partial y}=0.
Como todas as diferenças são zero e o domínio (0,\infty)\times(-1,\infty)\times\mathbb{R} é aberto e convexo (logo simplesmente conectado), concluímos que \vec{F} é conservativo, i.e., campo de gradiente.

Passo 3

Para achar um potencial \varphi(x,y,z) satisfazendo \nabla\varphi=\vec F, integramos em etapas:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=x^2+\frac1x \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{x^3}{3}+\ln x +C(y,z).
Em seguida
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\ln(y+1) \quad\Longrightarrow\quad C(y,z)=(y+1)\ln(y+1)-y+D(z).
Por fim
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=z \quad\Longrightarrow\quad D(z)=\frac{z^2}{2}.
Assim, um potencial válido (até constante) é
\varphi(x,y,z) =\frac{x^3}{3}+\ln x +(y+1)\ln(y+1)-y +\frac{z^2}{2}.

Passo 4

Pelo teorema fundamental de campos gradiente:
\int_\alpha\vec F\cdot d\vec s =\varphi(B)-\varphi(A).
Calculamos
\varphi(1,1,1) =\frac{1^3}{3}+0+(2)\ln2-1+\frac{1^2}{2} =-\frac{1}{6}+2\ln2,
\varphi(1,0,2) =\frac{1}{3}+0+1\cdot0-0+\frac{2^2}{2} =\frac{1}{3}+2 =\frac{7}{3}.
Logo
\int_\alpha\vec F\cdot d\vec s =\Bigl(-\frac{1}{6}+2\ln2\Bigr) -\frac{7}{3} =-\frac{5}{2}+2\ln2.

Resposta

a) Sim. \vec F é conservativo com potencial
\varphi(x,y,z) =\frac{x^3}{3}+\ln x +(y+1)\ln(y+1)-y +\frac{z^2}{2}.
b)
\int_\alpha\vec F\cdot d\vec s =-\frac{5}{2}+2\ln2.

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