(a) (1,5 ponto) Considere uma superfície S dada pelo gráfico de uma funçāo z=g(x, y),(x, y) \inD \subset \mathbb{R}^{2}, a qual possui derivadas parciais contínuas e é orientada positivamente, e um campo contínuo \vec{F}(x, y, z)=\mathrm{P}(x, y, z) \vec{i}+\mathrm{Q}(x, y, z) \vec{j}+\mathrm{R}(x, y, z) \vec{k}. Nostre que
\iint_{S} \vec{F} \cdot d S=\iint_{D}\left(-P \frac{\partial g}{\partial x}-Q \frac{\partial g}{\partial y}+R\right) d A
(b) (1,5 ponto) Utilizando o teorema de Stokes e o item (a) acima, calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d r, sendo \vec{F}(x, y, z)=\left(1-y^{2}\right) \vec{i}+\left(x^{2}+x\right) \vec{j}+e^{\cos (z) \vec{k}} e C a curva dada pela intersecāo do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o parabolóide elíptico x^{2}+2 y^{2}+z=5.
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) provar que, para a superfície S dada pelo gráfico z=g(x,y) com (x,y)\in D\subset\mathbb{R}^2 e orientada positivamente (isto é, com a componente z do vetor normal apontando para cima), vale
\iint_{S}\vec F\cdot d\mathbf S =\iint_{D}\Bigl(-P\,g_x - Q\,g_y + R\Bigr)\,dA.
(b) usar o teorema de Stokes e esse resultado para calcular \displaystyle\int_{C}\vec F\cdot d\mathbf r,
onde \vec F=(1-y^2)\mathbf i + (x^2+x)\mathbf j + e^{\cos z}\mathbf k
e C é a interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o paraboloide x^2+2y^2+z=5.
Aplicamos o teorema de Stokes em C=\partial S, onde S é a parte do paraboloide
z=5-x^2-2y^2
contida em x^2+y^2\le1. A orientação positiva de C (sentido anti-horário visto de cima) corresponde ao vetor normal apontando para cima, exatamente o caso de gráfico z=g(x,y). Assim
\int_{C}\vec F\cdot d\mathbf r =\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot d\mathbf S.
Passo 5
Usando o resultado de (a) com P=0,\;Q=0,\;R=2x+2y+1, o fluxo de \nabla\times\vec F pela superfície z=5-x^2-2y^2 é