(a) (1,5 ponto) Considere uma superfície S dada pelo gráfico de uma funçāo z=g(x, y),(x, y) \in D \subset \mathbb{R}^{2}, a qual possui derivadas parciais contínuas e é orientada positivamente, e um campo contínuo \vec{F}(x, y, z)=\mathrm{P}(x, y, z) \vec{i}+\mathrm{Q}(x, y, z) \vec{j}+\mathrm{R}(x, y, z) \vec{k}. Nostre que
\iint_{S} \vec{F} \cdot d S=\iint_{D}\left(-P \frac{\partial g}{\partial x}-Q \frac{\partial g}{\partial y}+R\right) d A
(b) (1,5 ponto) Utilizando o teorema de Stokes e o item (a) acima, calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d r, sendo \vec{F}(x, y, z)=\left(1-y^{2}\right) \vec{i}+\left(x^{2}+x\right) \vec{j}+e^{\cos (z) \vec{k}} e C a curva dada pela intersecāo do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o parabolóide elíptico x^{2}+2 y^{2}+z=5.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) provar que, para a superfície S dada pelo gráfico z=g(x,y) com (x,y)\in D\subset\mathbb{R}^2 e orientada positivamente (isto é, com a componente z do vetor normal apontando para cima), vale
\iint_{S}\vec F\cdot d\mathbf S =\iint_{D}\Bigl(-P\,g_x - Q\,g_y + R\Bigr)\,dA.
(b) usar o teorema de Stokes e esse resultado para calcular
\displaystyle\int_{C}\vec F\cdot d\mathbf r,
onde
\vec F=(1-y^2)\mathbf i + (x^2+x)\mathbf j + e^{\cos z}\mathbf k
e C é a interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o paraboloide x^2+2y^2+z=5.

Passo 2

Prova do item (a). Parametrizamos S por
\mathbf r(x,y)=(x,y,g(x,y)), \qquad (x,y)\in D.
Então
\mathbf r_x=(1,0,g_x), \quad \mathbf r_y=(0,1,g_y)
e o vetor área orientado é
\mathbf r_x\times\mathbf r_y =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ 1&0&g_x\\\\ 0&1&g_y \end{vmatrix} =(-g_x)\,\mathbf i+(-g_y)\,\mathbf j+1\cdot\mathbf k.
Assim
d\mathbf S =\bigl(\!-g_x,\,-g_y,\,1\bigr)\,dA,
e
\vec F\cdot d\mathbf S =P\,(-g_x)+Q\,(-g_y)+R\cdot1 =\bigl(-P\,g_x - Q\,g_y + R\bigr)\,dA.
Integrando sobre D obtemos exatamente a fórmula desejada.

Passo 3

Cálculo de \nabla\times\vec F. Para
\vec F=(P,Q,R) com
P=1-y^2,\;Q=x^2+x,\;R=e^{\cos z}, temos
\nabla\times\vec F =\Bigl(R_y - Q_z,\;P_z - R_x,\;Q_x - P_y\Bigr).
Como R_y=0,\;Q_z=0,\;P_z=0,\;R_x=0, fica
(\nabla\times\vec F)_x=0, \quad (\nabla\times\vec F)_y=0.
E
Q_x=2x+1, \quad P_y=-2y,
logo
(\nabla\times\vec F)_z =(2x+1)-(-2y)=2x+2y+1.
Portanto
\nabla\times\vec F=(0,0,2x+2y+1).

Passo 4

Aplicamos o teorema de Stokes em C=\partial S, onde S é a parte do paraboloide
z=5-x^2-2y^2
contida em x^2+y^2\le1. A orientação positiva de C (sentido anti-horário visto de cima) corresponde ao vetor normal apontando para cima, exatamente o caso de gráfico z=g(x,y). Assim
\int_{C}\vec F\cdot d\mathbf r =\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot d\mathbf S.

Passo 5

Usando o resultado de (a) com P=0,\;Q=0,\;R=2x+2y+1, o fluxo de \nabla\times\vec F pela superfície z=5-x^2-2y^2 é
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot d\mathbf S =\iint_{D}\Bigl(-0\cdot g_x -0\cdot g_y + (2x+2y+1)\Bigr)\,dA =\iint_{D}(2x+2y+1)\,dA,
onde D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}.

Passo 6

A integral sobre o disco unitário fatora em três termos:
\iint_{D}2x\,dA=0, \quad \iint_{D}2y\,dA=0
por simetria, e
\iint_{D}1\,dA=\pi\,(1)^2=\pi.
Logo
\int_{C}\vec F\cdot d\mathbf r =\pi.

Resposta

\pi

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