( 2,5 pontos) Calcule o trabalho realizado pelo campo de força \vec{F}=\left(e^{\cos x}-y^{2}\right) \vec{i}+\left(\operatorname{sen}\left(y^{2}\right)-x y\right) \vec{j}, para deslocar uma partícula ao longo do triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,1), percorrido uma vez no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r
feito pelo campo de força
\vec F = \bigl(e^{\cos x}-y^2\bigr)\,\vec i \;+\;\bigl(\sin(y^2)-xy\bigr)\,\vec j
ao redor do triângulo com vértices (0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,0), percorrido no sentido anti-horário. O conteúdo usado será a Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla.

Passo 2

Verificamos se \vec F é conservativo, calcular
\displaystyle P(x,y)=e^{\cos x}-y^2 e \displaystyle Q(x,y)=\sin(y^2)-xy.
Então
\frac{\partial P}{\partial y}=-2y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=-y.
Como \partial Q/\partial x \neq \partial P/\partial y, não é campo conservativo e podemos aplicar Green:
W = \oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos o integrando de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = (-y) - (-2y) = y.
Logo
W=\iint_{R} y\,dA.

Passo 4

Descrevemos a região R: o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,1). Para cada x\in[0,1], y varia de 0 até a reta y=x. Assim
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x\}.

Passo 5

Montamos e resolvemos a integral dupla:
W = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x} y\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{x}\,dx = \int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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