Questão 4.(2.0) Marque a alternativa correta. Seja a função
f(x, y, z)=z^{2} x e^{x} \cos (y z)
Uma partícula movimenta-se ao longo de uma curva \alpha do ponto \left(0,-\frac{2}{5}, \frac{\pi}{4}\right) ao ponto \left(3,5,-\frac{\pi}{2}\right). Se a força agindo sobre a partícula é \nabla f, então o trabalho feito sobre a partícula é
a) negativo
b) 0
c) positivo
d) desconhecido sendo \alpha desconhecida.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=z^{2}x e^{x}\cos(yz)
e diz que a força que age sobre a partícula é \nabla f. A partícula vai de
A=(0,-\tfrac{2}{5},\tfrac{\pi}{4})
a
B=(3,5,-\tfrac{\pi}{2}).
O conteúdo aqui é campo conservativo: sabendo que \nabla f é gradiente de f, o trabalho independe da curva e vale
W=f(B)-f(A).

Passo 2

Calcular f(A). Como em A temos x=0,
f(A)=\bigl(z^{2}x e^{x}\cos(yz)\bigr)\Big|_{A} =(\text{algo})\cdot x\Big|_{x=0}=0.

Passo 3

Calcular f(B). Em B temos x=3, y=5 e z=-\tfrac{\pi}{2}, então
f(B) =\bigl(z^{2}x e^{x}\cos(yz)\bigr)\Big|_{B} =\Bigl(\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2}\cdot3\,e^{3}\cos\bigl(5\cdot(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)\Bigr) =\frac{\pi^{2}}{4}\,3e^{3}\cos\bigl(-\tfrac{5\pi}{2}\bigr).
Mas
\cos(-\tfrac{5\pi}{2})=\cos(\tfrac{5\pi}{2})=\cos(2\pi+\tfrac{\pi}{2})=0,
logo f(B)=0.

Passo 4

O trabalho é
W=f(B)-f(A)=0-0=0.

Resposta

0 (alternativa b)

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