Para cada uma das afirmações abaixo, decida se é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Se lambda é autovalor do operador linear invertível T, então lambda^-1 é autovalor de T^-1.
(b) O polinômio característico do operador T+L é a soma dos polinômios característicos de T e L;
(c) Se v é um autovetor comum aos operadores T e L, então v é autovalor de T+L e de L circ T;
(d) Se lambda e mu são autovalores diferentes de T: V V e v e w são autovetores associados a lambda e a mu, respectivamente, então v e w são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa cada afirmação sobre autovalores e operadores lineares, usando propriedades de invertibilidade, soma e composição de operadores, polinômio característico e independência de autovetores.

Passo 2

Afirmação (a): Se lambda é autovalor de T invertível, existe vneq0 tal que T(v)=lambda v. Aplicando T^-1 em ambos os lados,
T^-1(T(v))=T^-1(lambda v) Longrightarrow v=lambda,T^-1(v) Longrightarrow T^-1(v)=lambda^-1v
Como vneq0, segue que lambda^-1 é autovalor de T^-1. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): Diz que chiT+L(t)=chiT(t)+chiL(t). Num espaço de dimensão 1, seja T(x)=a x e L(x)=b x. Então
chiT(t)=t-a, chiL(t)=t-b, chiT+L(t)=t-(a+b)
Mas
chiT(t)+chiL(t)=(t-a)+(t-b)=2t-(a+b)neq t-(a+b)=chiT+L(t)
em geral. Portanto (b) é falsa.

Passo 4

Afirmação (c): Se v é autovetor comum de T e L com valores próprios lambda e mu, então
(T+L)(v)=T(v)+L(v)=lambda v+mu v=(lambda+mu)v,
logo v é autovetor de T+L com autovalor lambda+mu. E
(Lcirc T)(v)=L(T(v))=L(lambda v)=lambda,L(v)=lambdamu,v,
logo v é autovetor de Lcirc T com autovalor lambdamu. Assim, (c) é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d): Se lambdaneqmu são autovalores de T com autovetores v e w, suponha para fins de contradição
alpha v + beta w = 0
Aplicando T,
alphalambda v + betamu w = 0
Subtraindo lambda vezes a primeira equação da segunda,
beta(mu-lambda)w=0
Como muneqlambda e wneq0, vem beta=0. Então alpha v=0 implica alpha=0. Logo v,w é independente. Portanto (d) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Verdadeira.

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