Para cada uma das afirmações abaixo, decida se é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Se
é autovalor do operador linear invertível
, então
é autovalor de
.
(b) O polinômio característico do operador
é a soma dos polinômios característicos de
e
;
(c) Se
é um autovetor comum aos operadores
e
, então
é autovalor de
e de
;
(d) Se
e
são autovalores diferentes de
e
e
são autovetores associados a
e a
, respectivamente, então
e
são linearmente independentes.
(a) Se
(b) O polinômio característico do operador
(c) Se
(d) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa cada afirmação sobre autovalores e operadores lineares, usando propriedades de invertibilidade, soma e composição de operadores, polinômio característico e independência de autovetores.
Passo 2
Afirmação (a): Se
é autovalor de
invertível, existe
tal que
. Aplicando
em ambos os lados,
Como
, segue que
é autovalor de
. Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
Afirmação (b): Diz que
. Num espaço de dimensão
, seja
e
. Então
Mas
em geral. Portanto (b) é falsa.
Passo 4
Afirmação (c): Se
é autovetor comum de
e
com valores próprios
e
, então
logo
é autovetor de
com autovalor
. E
logo
é autovetor de
com autovalor
. Assim, (c) é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (d): Se
são autovalores de
com autovetores
e
, suponha para fins de contradição
Aplicando
,
Subtraindo
vezes a primeira equação da segunda,
Como
e
, vem
. Então
implica
. Logo
é independente. Portanto (d) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Verdadeira.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Verdadeira.