Suponha que, com respeito a alguma base, a matriz do endomorfismo T é uma matriz triangular superior
A=(ccccc a11 & a12 & a13 & ldots & a1 n 0 & a22 & a23 & & a2 n 0 & 0 & a33 & & a3 n vdots & & & ddots & 0 & 0 & 0 & ldots & an n )
Quais são os autovalores de T ?

Passo 1

O enunciado nos dá um endomorfismo T cuja matriz, numa certa base, é triangular superior
A= a11 & a12 & cdots & a1n 0 & a22 & cdots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & ann
e pede seus autovalores. Para isso, vamos usar a definição de autovalor como raiz do polinômio característico
chiA(lambda)=det(A-lambda I)
e a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Subtraindo lambda da diagonal, obtemos
A-lambda I= a11-lambda & * & cdots & * 0 & a22-lambda & cdots & * vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & ann-lambda
Como essa é ainda uma matriz triangular superior, seu determinante é
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =prodi=1^n(aii-lambda)
As raízes de chiA(lambda) são exatamente os valores de lambda que anulam algum fator (aii-lambda).

Resposta

Os autovalores de T são
a11,;a22,;dots,;ann,
contando-se multiplicidades conforme a repetição desses valores na diagonal de A.

Exercícios relacionados