Suponha que, com respeito a alguma base, a matriz do endomorfismo
é uma matriz triangular superior
Quais são os autovalores de
T ?
Passo 1
O enunciado nos dá um endomorfismo
T cuja matriz, numa certa base, é triangular superior
e pede seus autovalores. Para isso, vamos usar a definição de autovalor como raiz do polinômio característico
chiA(lambda)=det(A-lambda I)
e a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.
e a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.
Passo 2
Subtraindo
lambda da diagonal, obtemos
Como essa é ainda uma matriz triangular superior, seu determinante é
As raízes de
chiA(lambda) são exatamente os valores de
lambda que anulam algum fator
(aii-lambda) .
Resposta
Os autovalores de
T são
contando-se multiplicidades conforme a repetição desses valores na diagonal de
A .