Mostre que o conjunto de vetores (x, y, z) in R^3 soluções do sistema de equações abaixo é um subespaço do R^3.
l x+y-z=0 2 x-2 y+z=0 -x+3 y-2 z=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
S = l(x,y,z)inR^3 mid x+y-z=0, 2x-2y+z=0, -,x+3y-2z=0 r
é um subespaço de R^3.
O conteúdo envolvido é o de subespaço vetorial e a definição de solução de um sistema linear homogêneo. Vamos usar a definição de subespaço: verificar que S contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0) satisfaz as três equações:
0+0-0=0, 2cdot0-2cdot0+0=0, -0+3cdot0-2cdot0=0
Logo, (0,0,0)in S, ou seja, S não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Fechamento sob soma e escalar.
Sejam (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em S. Então elas satisfazem
xi + yi - zi = 0, 2xi - 2yi + zi = 0, -xi + 3yi -2zi=0,
para i=1,2. Somando termo a termo, vemos que
(x1+x2)+(y1+y2)-(z1+z2)=0,
e de modo análogo as outras duas equações somam zero. Logo (x1+x2,y1+y2,z1+z2)in S, provando fechamento sob soma.
Agora, seja lambdainR. Multiplicando cada equação que define (x1,y1,z1) por lambda, obtemos
lambda x1 + lambda y1 - lambda z1 = 0,
e as duas demais também viram zero. Assim (lambda x1,lambda y1,lambda z1)in S, provando fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto S contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalares, logo é um subespaço de R^3.

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