Seja A uma matriz diagonalizável com somente um autovalor distinto. Mostre que A é um múltiplo escalar de I.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz diagonalizável que tem apenas um autovalor distinto. O conteúdo que vamos usar é a definição de diagonalização de matrizes e a propriedade de similaridade para mostrar que, nesse caso, A deve ser um múltiplo escalar da matriz identidade.

Passo 2

Como A é diagonalizável, existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
A = P,D,P^-1,
onde os elementos da diagonal de D são exatamente os autovalores de A.

Passo 3

Como o problema afirma que há somente um autovalor distinto, digamos lambda, todas as entradas da diagonal de D são iguais a lambda. Logo
D = lambda I

Passo 4

Substituindo D = lambda I em A = P,D,P^-1, obtemos
A = P,(lambda I),P^-1 = lambda,(P,I,P^-1) = lambda I,
pois P,I,P^-1=I.

Resposta

Portanto, A = lambda I, ou seja, A é um múltiplo escalar da matriz identidade.

Exercícios relacionados