Seja
uma matriz diagonalizável com somente um autovalor distinto. Mostre que
é um múltiplo escalar de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz diagonalizável que tem apenas um autovalor distinto. O conteúdo que vamos usar é a definição de diagonalização de matrizes e a propriedade de similaridade para mostrar que, nesse caso,
deve ser um múltiplo escalar da matriz identidade.
Passo 2
Como
é diagonalizável, existe uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tais que
onde os elementos da diagonal de
são exatamente os autovalores de
.
Passo 3
Como o problema afirma que há somente um autovalor distinto, digamos
, todas as entradas da diagonal de
são iguais a
. Logo
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
pois
.
Resposta
Portanto,
, ou seja,
é um múltiplo escalar da matriz identidade.