Mais matrizes não semelhantes.
(1) Calcule o determinante e o traço das matrizes
Mas conclua que elas não são semelhantes.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
A = 0 & 10 & 0, B = 0 & 00 & 0
e pede (i) determinante e traço de cada uma, e (ii) concluir que não são semelhantes. Vamos usar como invariantes de similaridade o determinante, o traço e, como extra, o posto (rank).
Passo 2
Calcular o determinante de A e de B.
det A = 0cdot0 - 1cdot0 = 0, det B = 0cdot0 - 0cdot0 = 0
Passo 3
Calcular o traço de A e de B.
tr,A = 0 + 0 = 0, tr,B = 0 + 0 = 0
Passo 4
Até aqui ambos têm det=0 e tr=0, o que não basta para decidir similaridade. Precisamos de outro invariante.
Passo 5
Usar o posto (rank), que também é invariante por similaridade.
A matriz A tem uma linha não-nula (,[0;1]), logo rank(A)=1.
A matriz B é toda zero, então rank(B)=0.
Como os postos são diferentes, A e B não podem ser semelhantes.
Resposta
det A = 0, tr,A = 0; det B = 0, tr,B = 0;
porém rank(A)=1neq0=rank(B), logo não são semelhantes.