Para cada uma das afirmações abaixo, dê o exemplo de uma função de 2 variáveis satisfazendo as propriedades desejadas, ou justifique por que não existe.
Uma função p(x, y) que está definida em P0=(0,0), mas lim (x, y) P0 p(x, y) não existe.

Passo 1

O enunciado pede uma função p(x,y) que seja definida em P0=(0,0), mas tal que
lim(x,y)to(0,0)p(x,y)
não exista. Lembrando que um limite em duas variáveis não existe se encontremos duas curvas de aproximação que levem a valores diferentes.

Passo 2

Definimos
p(x,y)= x,yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[8pt] 0,&(x,y)=(0,0)
Ao aproximar por y=0, temos
p(x,0)=0Longrightarrowlim(x,0)to(0,0)p(x,0)=0
Ao aproximar por y=x, temos
p(x,x)=x^22x^2=12Longrightarrowlim(x,x)to(0,0)p(x,x)=12 ]

Passo 3

Como alongamentos diferentes (por y=0 e por y=x) produzem limites distintos ( 0 e tfrac12), o limite geral em (0,0) não existe.

Resposta

p(x,y)= x,yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0) ]

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