Exercício 3. Utilizando o teste da comparação, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
sumn=1^infty 1n 2^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty 1n,2^n
usando o teste de comparação. Vamos precisar do fato de que, se 0<= an<= bn para todo n e sum bn converge, então sum an também converge. Além disso, lembramos que a série geométrica
sumn=1^infty r^n
converge sempre que lvert rrvert<1.

Passo 2

Para todo n>=1 temos
0 < 1n,2^n <= 12^n,
pois n>=1 implica n,2^n >= 2^n. A série geométrica
sumn=1^infty 12^n
converge, já que é do tipo sum r^n com r=tfrac12 e
sumn=1^infty 12^n = tfrac121-tfrac12 = 1
Logo, por comparação direta, a série sumn=1^infty 1n,2^n converge.

Resposta

A série converge.

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