Conidere a função f(x, y)=x yx^2+y^2+1
f é contínua em P0=(0,0) Por que ou por que não?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x,yx^2+y^2+1
e pergunta se ela é contínua em P0=(0,0). Para decidir isso, vamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e é igual a f(0,0), usando uma desigualdade do tipo “teorema do confronto” (squeeze theorem).

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor de f em P0:
f(0,0)=0cdot 00^2+0^2+1=0
Em seguida, estimamos l|f(x,y)r|:
l|f(x,y)r| =|x,y|x^2+y^2+1 <= |x,y|
E sabemos pela desigualdade do produto que
|x,y|<=x^2+y^22

Passo 3

Combinando as duas desigualdades, obtemos
l|f(x,y)r|<=x^2+y^22
Como x^2+y^22to0 quando (x,y)to(0,0), pelo teorema do confronto segue que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Esse limite coincide com f(0,0), logo f é contínua em P0.

Resposta

Sim. f é contínua em (0,0) porque
lim(x,y)to(0,0)x,yx^2+y^2+1=0=f(0,0)

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