Exercício 3. Utilizando o teste da comparação, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
sumn=1^infty(n3 n+1)^n

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da comparação na série de termos positivos
sumn=1^infty (n3n+1)^n
O conteúdo é séries de termos não-negativos e o teste da comparação com uma série geométrica conhecida.

Passo 2

Para todo n>=1 temos
3n < 3n+1,
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n3n+1 < n3n = 13
Como xmapsto x^n é crescente em x>0, segue
(n3n+1)^n < (13)^n

Passo 3

A série geométrica
sumn=1^infty (13)^n
é convergente, pois sua razão tfrac13 satisfaz lvert rrvert<1.

Passo 4

Pelo teste da comparação: se 0<= an<= bn e sum bn converge, então sum an converge. Aqui
0 <= (tfracn3n+1)^n <= (tfrac13)^n
e sum(1/3)^n converge.

Passo 5

Portanto a série
sumn=1^infty (n3n+1)^n
converge.

Resposta

A série converge.

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