Para cada uma das afirmações abaixo, dê o exemplo de uma função de 2 variáveis satisfazendo as propriedades desejadas, ou justifique por que não existe.
Uma função q que não admite limite na origem, mas admite limite através da reta y=m x quando x 0.

Passo 1

O enunciado pede uma função de duas variáveis q(x,y) tal que o limite de q(x,y) quando (x,y)to(0,0) não exista, mas que, ao restringir a aproximação pela reta y=mx, o limite
limxto 0ql(x,mxr)
exista para todo valor real de m. Trata-se de estudar limites em várias direções em um ponto de R^2.

Passo 2

Para ter limite ao longo de cada reta y=mx, precisamos que a expressão de q(x,mx) seja uma função de m apenas, sem depender de x no resultado final. Ao mesmo tempo, para que o limite geral não exista, esses limites em função de m devem variar com m.

Passo 3

Uma escolha clássica é
q(x,y)= dfracx,yx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)
Verificamos o limite ao longo de y=mx:
ql(x,mxr) =x,(m,x)x^2+(m,x)^2 =m,x^2x^2(1+m^2) =m1+m^2
Esse valor é independente de x, logo
limxto0ql(x,mxr)=m1+m^2,
que existe para todo m.
]

Passo 4

Como o limite ao longo de cada reta depende de m, não há um único valor que sirva para todas as direções. Em particular, se m1neq m2 então
m11+m1^2neqm21+m2^2,
logo
lim(x,y)to(0,0)q(x,y)
não existe.

Resposta

Uma função que satisfaz é
q(x,y)= dfracx,yx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)

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