Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (1,1) x^3-y^3y-x,

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis, mais especificamente
lim(x,y)to(1,1)x^3 - y^3y - x
O conteúdo necessário é fatorar a diferença de cubos e usar continuidade da função resultante.

Passo 2

Aplicamos a fatoração da diferença de cubos:
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

Passo 3

Substituindo na expressão do limite, obtemos
x^3 - y^3y - x = (x - y)(x^2 + xy + y^2)y - x = -l(x^2 + xy + y^2r),
pois x - yy - x = -1.

Passo 4

A função (x,y)mapsto -l(x^2 + xy + y^2r) é contínua em todo R^2, logo o limite é o valor da função em (1,1):
-l(1^2 + 1cdot1 + 1^2r) = -(1+1+1) = -3

Resposta

-3

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