Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (0,0) raiz1+x^2+y^2-1x^2+y^2,

Passo 1

Vamos resolver o limite lim (x, y) (0,0) raiz1+x^2+y^2-1x^2+y^2. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos utilizar técnicas de álgebra e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observamos que o denominador x^2 + y^2 se aproxima de zero quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para facilitar, podemos usar a substituição r^2 = x^2 + y^2, onde r representa a distância do ponto (x, y) até a origem.

Passo 3

Com essa substituição, nosso limite fica:
limr to 0 raiz1 + r^2 - 1r^2
Agora, precisamos simplificar o numerador raiz1 + r^2 - 1.

Passo 4

Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, ou seja, raiz1 + r^2 + 1:
raiz1 + r^2 - 1r^2 times raiz1 + r^2 + 1raiz1 + r^2 + 1 = (1 + r^2) - 1r^2(raiz1 + r^2 + 1) = r^2r^2(raiz1 + r^2 + 1)

Passo 5

Simplificando a fração, o r^2 no numerador e no denominador se cancelam:
1raiz1 + r^2 + 1
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando r tende a 0.

Passo 6

Quando r se aproxima de 0, raiz1 + r^2 se aproxima de raiz1 = 1. Portanto:
limr to 0 1raiz1 + r^2 + 1 = 11 + 1 = 12

Resposta

O limite é 12.

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