Para cada uma das afirmações abaixo, dê o exemplo de uma função de 2 variáveis satisfazendo as propriedades desejadas, ou justifique por que não existe.
Uma função
que é continua na origem, mas
não existe.
Uma função
Passo 1
O enunciado pede uma função
que seja contínua na origem
mas tal que o limite
não exista.
Passo 2
Lembrando que, por definição, uma função
é contínua em
se, e somente se,
Ou seja, a continuidade no ponto implica que esse limite existe e é igual ao valor da função no ponto.
Passo 3
Portanto, exigir que
seja contínua em
e ao mesmo tempo que
não exista é contraditório: a existência desse limite faz parte da definição de continuidade em
.
Resposta
Não existe nenhuma função com essas propriedades, pois continuidade em um ponto implica necessariamente existência do limite naquele ponto.