Para cada uma das afirmações abaixo, dê o exemplo de uma função de 2 variáveis satisfazendo as propriedades desejadas, ou justifique por que não existe.
Uma função r que é continua na origem, mas lim (x, y) (0,0) r(x, y) não existe.

Passo 1

O enunciado pede uma função r:R^2toR que seja contínua na origem (0,0) mas tal que o limite
lim(x,y)to(0,0)r(x,y)
não exista.

Passo 2

Lembrando que, por definição, uma função r é contínua em (0,0) se, e somente se,
lim(x,y)to(0,0)r(x,y)=r(0,0)
Ou seja, a continuidade no ponto implica que esse limite existe e é igual ao valor da função no ponto.

Passo 3

Portanto, exigir que r seja contínua em (0,0) e ao mesmo tempo que lim(x,y)to(0,0)r(x,y) não exista é contraditório: a existência desse limite faz parte da definição de continuidade em (0,0).

Resposta

Não existe nenhuma função com essas propriedades, pois continuidade em um ponto implica necessariamente existência do limite naquele ponto.

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