Um varejista verificou que o custo (em reais) C(x) para pedir e estocar x unidades de um determinado produto é
C(x)=100(x+3249x), se x>0.
Qual é o tamanho do pedido (em unidades) que minimiza o custo?

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado nos conta que o custo para pedir e guardar x unidades de um produto é dado por C(x) = 100(x + 3249x) , onde x > 0 . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o valor de x que deixa esse custo o menor possível.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função de custo para facilitar o cálculo:
C(x) = 100x + 324900x

Passo 3

Para encontrar o mínimo da função C(x) , precisamos calcular a derivada de C(x) em relação a x e igualar a zero. A derivada nos mostra como o custo muda quando alteramos um pouquinho o valor de x .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de C(x) :
C'(x) = 100 - 324900x^2

Passo 5

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto onde o custo é mínimo:
100 - 324900x^2 = 0

Passo 6

Resolvendo essa equação para x :
100 = 324900x^2
Multiplicando ambos os lados por x^2 :
100x^2 = 324900
Dividindo ambos os lados por 100:
x^2 = 3249

Passo 7

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar x :
x = raiz3249
x = 57

Resposta

O tamanho do pedido que minimiza o custo é de 57 unidades.

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