Seja
o resto da divisão de
por
. Qual é a derivada
?
por
Passo 1
Vamos entender o problema: queremos encontrar a derivada do resto
da divisão do polinômio
por
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de divisão de polinômios e derivadas.
Passo 2
Quando dividimos um polinômio
por outro polinômio
de grau 2, o resto
será um polinômio de grau menor que 2. Ou seja, podemos escrever
, onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
e
tais que:
onde
é o quociente da divisão.
Passo 4
Para simplificar, vamos reduzir
utilizando a relação
, que vem do polinômio divisor
. Essa relação nos ajuda a expressar potências altas de
em termos de
e constantes.
Passo 5
Vamos observar o comportamento das potências de
usando a relação
:
Percebemos que as potências de
se repetem a cada 6.
Passo 6
Para reduzir
, vamos encontrar o resto da divisão de 9742 por 6:
Portanto,
.
Passo 7
Já vimos que
. Então:
Passo 8
Substituindo na expressão original:
Portanto, o resto é
.
Passo 9
Agora, queremos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 10
A derivada de
é: