Seja r(x) o resto da divisão de x^9742+21 x-2025
por x^2-x+1. Qual é a derivada d rd x ?

Passo 1

Vamos entender o problema: queremos encontrar a derivada do resto r(x) da divisão do polinômio x^9742 + 21x - 2025 por x^2 - x + 1 . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de divisão de polinômios e derivadas.

Passo 2

Quando dividimos um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) de grau 2, o resto r(x) será um polinômio de grau menor que 2. Ou seja, podemos escrever r(x) = ax + b , onde a e b são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar os coeficientes a e b tais que:
x^9742 + 21x - 2025 = Q(x)(x^2 - x + 1) + ax + b
onde Q(x) é o quociente da divisão.

Passo 4

Para simplificar, vamos reduzir x^9742 utilizando a relação x^2 = x - 1 , que vem do polinômio divisor x^2 - x + 1 = 0 . Essa relação nos ajuda a expressar potências altas de x em termos de x e constantes.

Passo 5

Vamos observar o comportamento das potências de x usando a relação x^2 = x - 1 :
x^0 &= 1 x^1 &= x x^2 &= x - 1 x^3 &= x(x - 1) = x^2 - x = (x - 1) - x = -1 x^4 &= x cdot (-1) = -x x^5 &= (-x) cdot x = -x^2 = -(x - 1) = -x + 1 x^6 &= (-x + 1) cdot x = -x^2 + x = -(x - 1) + x = -x + 1 + x = 1
Percebemos que as potências de x se repetem a cada 6.

Passo 6

Para reduzir x^9742 , vamos encontrar o resto da divisão de 9742 por 6:
9742 div 6 = 1623 com resto 4
Portanto, x^9742 = x^4 .

Passo 7

Já vimos que x^4 = -x . Então:
x^9742 = -x

Passo 8

Substituindo na expressão original:
x^9742 + 21x - 2025 = -x + 21x - 2025 = 20x - 2025
Portanto, o resto é r(x) = 20x - 2025 .

Passo 9

Agora, queremos encontrar a derivada de r(x) em relação a x .

Passo 10

A derivada de r(x) = 20x - 2025 é:
drdx = 20

Resposta

drdx = 20

Exercícios relacionados