Considere a função
f(x)=(2 x+1)^3+(5 x-3)^2
Calculando a diferencial
d f stackrel def = f(x+d x)-f(x)
obtemos
(Lembre que escrevemos
a(x) equiv b(x)(bmod (d x)^2)
para indicar que a diferença a(x)-b(x) é um múltiplo de (d x)^2).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = (2x+1)^3 + (5x-3)^2
e pede para calcular a diferencial definida por
df stackreldef= f(x+dx) - f(x),
mas apenas até ordem linear em dx, ou seja, tomando equivalências módulo (dx)^2. Para isso usamos a expansão em série de Taylor truncada em primeira ordem:
f(x+dx) equiv f(x) + f'(x),dx pmod(dx)^2

Passo 2

Vamos achar primeiro f'(x). Como
f(x) = (2x+1)^3 + (5x-3)^2,
usamos a regra da cadeia em cada termo. Para (2x+1)^3 temos
ddx(2x+1)^3 = 3(2x+1)^2cdotddx(2x+1) = 3(2x+1)^2cdot 2 = 6(2x+1)^2

Passo 3

Para o segundo termo (5x-3)^2 aplicamos também a cadeia:
ddx(5x-3)^2 = 2(5x-3)cdotddx(5x-3) = 2(5x-3)cdot 5 = 10(5x-3)
Somando as duas partes,
f'(x) = 6(2x+1)^2 + 10(5x-3)

Passo 4

Agora, pela expansão em primeira ordem,
f(x+dx) - f(x) equiv f'(x),dx pmod(dx)^2
Logo a diferencial é

Resposta

df equiv l[,6(2x+1)^2 + 10(5x-3)r],dx pmod(dx)^2

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