Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Não existe uma transformação linear T: M2(R) R^2 sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se existe uma transformação linear T: M2(R) R^2 que seja sobrejetora, ou seja, que atinja todos os pontos de R^2 . Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra linear como dimensão de espaços vetoriais e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear sobrejetora. Uma transformação T é sobrejetora se para todo vetor em R^2 , existe pelo menos um vetor em M2(R) que é mapeado para ele por T .

Passo 3

Agora, vamos considerar as dimensões dos espaços envolvidos. O espaço M2(R) é o conjunto de todas as matrizes 2x2 de números reais. Cada matriz tem 4 entradas, então a dimensão de M2(R) é 4.

Passo 4

O espaço R^2 tem dimensão 2. Sabemos que para uma transformação linear ser sobrejetora, a dimensão do espaço de chegada (neste caso, R^2 ) deve ser menor ou igual à dimensão do espaço de partida (neste caso, M2(R) ).

Passo 5

Como 2 (dimensão de R^2 ) é menor que 4 (dimensão de M2(R) ), é possível que uma transformação linear T: M2(R) R^2 seja sobrejetora. Na verdade, podemos construir um exemplo concreto.

Passo 6

Vamos definir uma transformação linear T que pega uma matriz A = a & b c & d e mapeia para R^2 da seguinte forma:
T(A) = a + b c + d
Essa transformação é linear e, para qualquer vetor x y em R^2 , podemos encontrar uma matriz A que mapeia para esse vetor, como por exemplo A = x & 0 y & 0 .

Resposta

Verdadeiro. Existe uma transformação linear T: M2(R) R^2 sobrejetora, como por exemplo T(A) = a + b c + d .

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