Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Não existe uma transformação linear
sobrejetora.
Não existe uma transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se existe uma transformação linear
que seja sobrejetora, ou seja, que atinja todos os pontos de
. Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra linear como dimensão de espaços vetoriais e transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear sobrejetora. Uma transformação
é sobrejetora se para todo vetor em
, existe pelo menos um vetor em
que é mapeado para ele por
.
Passo 3
Agora, vamos considerar as dimensões dos espaços envolvidos. O espaço
é o conjunto de todas as matrizes 2x2 de números reais. Cada matriz tem 4 entradas, então a dimensão de
é 4.
Passo 4
O espaço
tem dimensão 2. Sabemos que para uma transformação linear ser sobrejetora, a dimensão do espaço de chegada (neste caso,
) deve ser menor ou igual à dimensão do espaço de partida (neste caso,
).
Passo 5
Como 2 (dimensão de
) é menor que 4 (dimensão de
), é possível que uma transformação linear
seja sobrejetora. Na verdade, podemos construir um exemplo concreto.
Passo 6
Vamos definir uma transformação linear
que pega uma matriz
e mapeia para
da seguinte forma:
Essa transformação é linear e, para qualquer vetor
em
, podemos encontrar uma matriz
que mapeia para esse vetor, como por exemplo
.
Resposta
Verdadeiro. Existe uma transformação linear
sobrejetora, como por exemplo
.