a matriz representa uma transformação linear T: R^2 M2(R) em que alpha e beta são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
a transformação linear S: M2(R) R tal que S([ll2 & 1 1 & 0])=2, S([ll0 & 3 0 & 3])=3, S([ll1 & 1 1 & 1])=2, S([ll0 & 1 1 & 0])=0
Verifique que [S circ T]gamma^alpha=[S]gamma^beta cdot[T]beta^alpha. Para fazer isso, você deve determinar
ccc S circ T: R^2 & & R (a, b) & mapsto & (S circ T)(a, b)=S(T(a, b))
e construir a matriz [S circ T]gamma^alpha e comparar com [S]gamma^beta cdot[T]beta^alpha.
Passo 1
O enunciado trata da composição de duas transformações lineares ;T:R^2to M2(R); e ;S: M2(R)toR,
cuja matriz em bases canônicas é
Para isso vamos (i) obter a expressão de T(a,b), (ii) achar a matriz de S em relação a beta, (iii) multiplicar matrizes, (iv) comparar com a matriz de Scirc T.
Passo 2
Da definição de matriz de , as colunas são as coordenadas de e na base canônica de :
Por linearidade, para temos
Passo 3
Vamos achar os valores ;s11=S(E11),,s12=S(E12),,s21=S(E21),,s22=S(E22)
pela informação de S em quatro matrizes:
M1=2&11&0,; M2=0&30&3,; M3=1&11&1,; M4=0&11&0
Escrevendo cada Mi em função de Eij e usando S(M1)=2, S(M2)=3, S(M3)=2, S(M4)=0, monta-se o sistema 2 = 2 s11 + s12 + s21, 3 = 3 s12 +3 s22, 2 = s11+s12+s21+s22, 0 = s12+s21.
Resolvendo, obtém-se
s11=1, s12=0, s21=0, s22=1
Logo a matriz de S em bases betatogamma (onde gamma é a base canônica de R) é