Considere:
  • a matriz [T]beta^alpha=[cc1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0] representa uma transformação linear T: R^2 M2(R) em que alpha e beta são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
  • a transformação linear S: M2(R) R tal que S([ll2 & 1 1 & 0])=2, S([ll0 & 3 0 & 3])=3, S([ll1 & 1 1 & 1])=2, S([ll0 & 1 1 & 0])=0
    Verifique que [S circ T]gamma^alpha=[S]gamma^beta cdot[T]beta^alpha. Para fazer isso, você deve determinar
ccc S circ T: R^2 & & R (a, b) & mapsto & (S circ T)(a, b)=S(T(a, b))
e construir a matriz [S circ T]gamma^alpha e comparar com [S]gamma^beta cdot[T]beta^alpha.

Passo 1

O enunciado trata da composição de duas transformações lineares
;T:R^2to M2(R); e
;S: M2(R)toR,
cuja matriz em bases canônicas é
[T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0
Queremos mostrar que
[Scirc T]gamma^alpha = [S]gamma^beta,[T]beta^alpha
Para isso vamos (i) obter a expressão de T(a,b), (ii) achar a matriz de S em relação a beta, (iii) multiplicar matrizes, (iv) comparar com a matriz de Scirc T.

Passo 2

Da definição de matriz de , as colunas são as coordenadas de e na base canônica de :
Por linearidade, para temos

Passo 3

Vamos achar os valores
;s11=S(E11),,s12=S(E12),,s21=S(E21),,s22=S(E22)
pela informação de S em quatro matrizes:
M1=2&11&0,; M2=0&30&3,; M3=1&11&1,; M4=0&11&0
Escrevendo cada Mi em função de Eij e usando S(M1)=2, S(M2)=3, S(M3)=2, S(M4)=0, monta-se o sistema
2 = 2 s11 + s12 + s21,
3 = 3 s12 +3 s22,
2 = s11+s12+s21+s22,
0 = s12+s21.
Resolvendo, obtém-se
s11=1, s12=0, s21=0, s22=1
Logo a matriz de S em bases betatogamma (onde gamma é a base canônica de R) é
[S]gamma^beta=(,1;0;0;1,)

Passo 4

Agora calculamos
[S]gamma^beta,[T]beta^alpha = (,1;0;0;1,) 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 = (,1cdot1+1cdot1;;,;;1cdot0+0cdot(-1)+0cdot1+1cdot0,) =(,2;0,)

Passo 5

Para verificar diretamente, note que
Assim a matriz de em é

Resposta

De fato
[Scirc T]gamma^alpha=(,2;0,) = [S]gamma^beta,[T]beta^alpha

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