Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se
e
são autovetores de um operador
associados aos autovalores
e
, respectivamente (com
), então
e
são vetores linearmente independentes (LI)
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você trouxe uma afirmação sobre autovetores e autovalores de um operador linear. A questão pede para a gente dizer se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for falso, a gente precisa apresentar um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for verdadeiro, a gente deve justificar também. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovetores, autovalores e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são autovetores e autovalores. Se temos um operador linear
, um vetor
é chamado de autovetor de
se, quando aplicamos
em
, o resultado é o próprio vetor
multiplicado por um escalar
, que chamamos de autovalor associado a
. Em fórmulas:
Isso significa que a ação de
em
apenas escala o vetor por
, sem mudar sua direção.
Passo 3
Agora, sobre independência linear. Dois vetores
e
são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde ambos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
implica que
e
.
Passo 4
A afirmação diz que se
e
são autovetores de
associados a autovalores diferentes (
), então
e
são linearmente independentes. Vamos analisar isso.
Passo 5
Se a combinação linear
só é possível se
e
, então
e
são linearmente independentes. Vamos ver o que acontece se supusermos que existe uma combinação onde, por exemplo,
ou
.
Aplicando o operador
nessa combinação:
Como
, temos:
Isso nos leva ao sistema:
Como
e ambos são diferentes de zero (caso contrário, os vetores seriam zero também), a única solução é
e
, mostrando que
e
são linearmente independentes.
Resposta
Verdadeiro. Se
e
são autovetores de um operador
com autovalores distintos (
), então eles são linearmente independentes.