Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se v e u são autovetores de um operador T associados aos autovalores lambda e mu, respectivamente (com lambda neq mu ), então v e u são vetores linearmente independentes (LI)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você trouxe uma afirmação sobre autovetores e autovalores de um operador linear. A questão pede para a gente dizer se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for falso, a gente precisa apresentar um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for verdadeiro, a gente deve justificar também. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovetores, autovalores e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são autovetores e autovalores. Se temos um operador linear T , um vetor v é chamado de autovetor de T se, quando aplicamos T em v , o resultado é o próprio vetor v multiplicado por um escalar lambda , que chamamos de autovalor associado a v . Em fórmulas:
T(v) = lambda v
Isso significa que a ação de T em v apenas escala o vetor por lambda , sem mudar sua direção.

Passo 3

Agora, sobre independência linear. Dois vetores v e u são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde ambos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
a v + b u = 0
implica que a = 0 e b = 0 .

Passo 4

A afirmação diz que se v e u são autovetores de T associados a autovalores diferentes ( lambda neq mu ), então v e u são linearmente independentes. Vamos analisar isso.

Passo 5

Se a combinação linear a v + b u = 0 só é possível se a = 0 e b = 0 , então v e u são linearmente independentes. Vamos ver o que acontece se supusermos que existe uma combinação onde, por exemplo, a neq 0 ou b neq 0 .
Aplicando o operador T nessa combinação:
T(a v + b u) = a T(v) + b T(u) = a lambda v + b mu u
Como T(a v + b u) = T(0) = 0 , temos:
a lambda v + b mu u = 0
Isso nos leva ao sistema:
a lambda = 0 e b mu = 0
Como lambda neq mu e ambos são diferentes de zero (caso contrário, os vetores seriam zero também), a única solução é a = 0 e b = 0 , mostrando que v e u são linearmente independentes.

Resposta

Verdadeiro. Se v e u são autovetores de um operador T com autovalores distintos ( lambda neq mu ), então eles são linearmente independentes.

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