Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Não existe uma transformação linear
injetora.
Não existe uma transformação linear
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma afirmação sobre transformações lineares, especificamente que “não existe uma transformação linear
injetora”. Nosso objetivo é classificar essa afirmação como verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de transformações lineares, injetividade, e dimensões dos espaços vetoriais envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação linear
é chamada de injetora se cada elemento em
for mapeado para um elemento único em
, ou seja, se
implica que
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os espaços vetoriais envolvidos:
-
é o espaço de polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A dimensão desse espaço é 3, pois uma base pode ser {1, , }. -
é o espaço vetorial de 5 dimensões. Sua dimensão é 5.
Passo 4
Sabemos que, para uma transformação linear entre espaços vetoriais, se a dimensão do espaço de partida
for maior que a dimensão do espaço de chegada
, então não pode existir uma transformação injetora. Isso porque, pelo Teorema do Núcleo e Imagem, a dimensão do núcleo
mais a dimensão da imagem
é igual à dimensão de
.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso:
- Dimensão de
é 3. - Dimensão de
é 5.
Como 3 ≤ 5, é possível que exista uma transformação linear injetora. Isso porque não estamos violando a condição de que o espaço de partida tenha dimensão maior que o de chegada.
Passo 6
De fato, podemos construir uma transformação linear injetora. Por exemplo, mapeando os polinômios da base {1,
,
} para três vetores distintos em
com os outros componentes iguais a zero:
Essa transformação é injetora porque diferentes polinômios resultarão em vetores diferentes em
.
Resposta
A afirmação é FALSA. Existe, sim, uma transformação linear
injetora, como exemplificado acima.