Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Não existe uma transformação linear T: P2(R) R^5 injetora.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma afirmação sobre transformações lineares, especificamente que “não existe uma transformação linear T: P2(R) R^5 injetora”. Nosso objetivo é classificar essa afirmação como verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de transformações lineares, injetividade, e dimensões dos espaços vetoriais envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação linear T: V W é chamada de injetora se cada elemento em V for mapeado para um elemento único em W , ou seja, se T(v1) = T(v2) implica que v1 = v2 .

Passo 3

Agora, vamos analisar os espaços vetoriais envolvidos:
  • P2(R) é o espaço de polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A dimensão desse espaço é 3, pois uma base pode ser {1, x , x^2 }.
  • R^5 é o espaço vetorial de 5 dimensões. Sua dimensão é 5.

Passo 4

Sabemos que, para uma transformação linear entre espaços vetoriais, se a dimensão do espaço de partida V for maior que a dimensão do espaço de chegada W , então não pode existir uma transformação injetora. Isso porque, pelo Teorema do Núcleo e Imagem, a dimensão do núcleo Ker(T) mais a dimensão da imagem Im(T) é igual à dimensão de V .

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso:
  • Dimensão de V = P2(R) é 3.
  • Dimensão de W = R^5 é 5.
Como 3 ≤ 5, é possível que exista uma transformação linear injetora. Isso porque não estamos violando a condição de que o espaço de partida tenha dimensão maior que o de chegada.

Passo 6

De fato, podemos construir uma transformação linear injetora. Por exemplo, mapeando os polinômios da base {1, x , x^2 } para três vetores distintos em R^5 com os outros componentes iguais a zero:
T(a + b x + c x^2) = (a, b, c, 0, 0)
Essa transformação é injetora porque diferentes polinômios resultarão em vetores diferentes em R^5 .

Resposta

A afirmação é FALSA. Existe, sim, uma transformação linear T: P2(R) R^5 injetora, como exemplificado acima.

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