Considere:
  • a matriz [T]beta^alpha=[cc1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0] representa uma transformação linear T: R^2 M2(R) em que alpha e beta são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
  • a transformação linear S: M2(R) R tal que S([ll2 & 1 1 & 0])=2, S([ll0 & 3 0 & 3])=3, S([ll1 & 1 1 & 1])=2, S([ll0 & 1 1 & 0])=0
    Determine a matriz [S]gamma^beta sendo gamma a base canônica de R.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear S: M2(R) to R e pede a matriz de S na base canônica beta de M2(R) (domínio) e na base canônica gamma=1 de R (contradomínio). Vamos usar que a base canônica beta de M2(R) é
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1
Se S(E11)=a, S(E12)=b, S(E21)=c, S(E22)=d, então a matriz de S é l[a;b;c;dr].

Passo 2

Escrevemos cada uma das matrizes fornecidas como combinação linear de Eij e igualamos ao valor dado por S.
  1. 2&11&0=2E11+E12+E21, logo
S(2E11+E12+E21)=2a+b+c=2
  1. 0&30&3=3E12+3E22, logo
S(3E12+3E22)=3b+3d=3
  1. 1&11&1=E11+E12+E21+E22, logo
S(E11+E12+E21+E22)=a+b+c+d=2
  1. 0&11&0=E12+E21, logo
S(E12+E21)=b+c=0

Passo 3

O sistema para
Da quarta equação .
Da segunda: .
Da terceira: .
Logo de com vem e assim .

Passo 4

Concluímos
a=1, b=0, c=0, d=1
Portanto, na base beta de M2(R) e na base gamma de R, a matriz de S é o vetor-linha l[a;b;c;dr].

Resposta

[S]gamma^beta = 1 & 0 & 0 & 1

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