Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se
é tal que
então o conjunto
é um conjunto LI.
Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que vai de
para
(o espaço dos polinômios de grau no máximo 2). O enunciado diz que o núcleo de
, ou seja,
, é apenas o vetor zero. A pergunta é: será que o conjunto formado por
,
e
é um conjunto linearmente independente (LI)?
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos de álgebra linear: transformação linear, núcleo de uma transformação, e independência linear.
Passo 2
Primeiro, como o núcleo de
é apenas o vetor zero (
), isso significa que
é injetora. Em termos simples, nenhum vetor diferente de zero em
é mapeado para zero por
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as dimensões dos espaços.
tem dimensão 3, e
também tem dimensão 3 (já que um polinômio de grau no máximo 2 tem três coeficientes: constante, linear e quadrático).
Passo 4
Como
é uma transformação linear injetora entre espaços de mesma dimensão, ela também é sobrejetora. Ou seja,
é uma bijeção, e, portanto, é um isomorfismo.
Passo 5
Um isomorfismo leva uma base de
para uma base de
. As vetores
,
e
formam uma base de
. Assim, as imagens desses vetores sob
, que são
,
e
, formarão uma base de
.
Passo 6
Uma base é sempre um conjunto de vetores linearmente independentes. Portanto,
é um conjunto linearmente independente.
Resposta
A afirmação é VERDADEIRA. O conjunto
é linearmente independente.