Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se T: R^3 P2(R) é tal que N(T)=0 então o conjunto T(1,0,0), T(0,1,0), T(0,0,1) é um conjunto LI.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T que vai de R^3 para P2(R) (o espaço dos polinômios de grau no máximo 2). O enunciado diz que o núcleo de T , ou seja, N(T) , é apenas o vetor zero. A pergunta é: será que o conjunto formado por T(1,0,0) , T(0,1,0) e T(0,0,1) é um conjunto linearmente independente (LI)?
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos de álgebra linear: transformação linear, núcleo de uma transformação, e independência linear.

Passo 2

Primeiro, como o núcleo de T é apenas o vetor zero ( N(T) = 0 ), isso significa que T é injetora. Em termos simples, nenhum vetor diferente de zero em R^3 é mapeado para zero por T .

Passo 3

Agora, vamos olhar para as dimensões dos espaços. R^3 tem dimensão 3, e P2(R) também tem dimensão 3 (já que um polinômio de grau no máximo 2 tem três coeficientes: constante, linear e quadrático).

Passo 4

Como T é uma transformação linear injetora entre espaços de mesma dimensão, ela também é sobrejetora. Ou seja, T é uma bijeção, e, portanto, é um isomorfismo.

Passo 5

Um isomorfismo leva uma base de R^3 para uma base de P2(R) . As vetores (1,0,0) , (0,1,0) e (0,0,1) formam uma base de R^3 . Assim, as imagens desses vetores sob T , que são T(1,0,0) , T(0,1,0) e T(0,0,1) , formarão uma base de P2(R) .

Passo 6

Uma base é sempre um conjunto de vetores linearmente independentes. Portanto, T(1,0,0), T(0,1,0), T(0,0,1) é um conjunto linearmente independente.

Resposta

A afirmação é VERDADEIRA. O conjunto T(1,0,0), T(0,1,0), T(0,0,1) é linearmente independente.

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