Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc17 & 18 & 18 -21 & -22 & -21 6 & 6 & 5] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Encontre o polinômio característico desse operador e determine suas raízes. O que essas raízes são do operador?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
[T]beta^beta = 17 & 18 & 18 -21 & -22 & -21 6 & 6 & 5
e pede o polinômio característico e suas raízes. Vamos usar que o polinômio característico é
det([T]beta^beta-lambda I)
e que suas raízes são os autovalores de T.

Passo 2

Calculamos
det([T]beta^beta-lambda I) =det 17-lambda & 18 & 18 -21 & -22-lambda & -21 6 & 6 & 5-lambda
Expandindo pela primeira linha (método de Laplace):
det([T]beta^beta-lambda I) &=(17-lambda)det-22-lambda & -216 & 5-lambda -18det-21 & -216 & 5-lambda &+18det-21 & -22-lambda6 & 6
Calculando cada determinante 2times2 e simplificando, obtemos
-lambda^3 + 3lambda + 2
Multiplicando por -1 para usar o convencional det(lambda I -A), temos
p(lambda)=lambda^3 -3lambda -2

Passo 3

Para achar as raízes de
;p(lambda)=lambda^3 -3lambda -2,
testamos lambda=2:
2^3-3cdot2-2=8-6-2=0,
logo lambda=2 é raiz. Dividindo p(lambda) por lambda-2, chega-se a
lambda^3-3lambda-2=(lambda-2)(lambda^2+2lambda+1) =(lambda-2)(lambda+1)^2
Portanto as raízes são
lambda=2 e lambda=-1 (com multiplicidade 2).

Passo 4

As raízes do polinômio característico são exatamente os autovalores de T. Assim:
2 é um autovalor simples.
-1 é um autovalor com multiplicidade algébrica 2.

Resposta

O polinômio característico é
p(lambda)=det(lambda I - [T]beta^beta)=lambda^3-3lambda-2
Suas raízes (autovalores) são
lambda=2 (multiplicidade 1) e lambda=-1 (multiplicidade 2).

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