Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc17 & 18 & 18 -21 & -22 & -21 6 & 6 & 5] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Encontre auto-vetores para T. É possível construir uma base para R^3 constituída apenas de autovetores de T ?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A ;=;[T]beta^beta ;=; 17 & 18 & 18 -21 & -22 & -21 6 & 6 & 5
que representa um operador linear TcolonR^3toR^3.
Queremos encontrar todos os autovalores lambda resolvendo
det(A-lambda I)=0, depois achar para cada lambda o espaço nulo de A-lambda I, cujos vetores não nulos são os autovetores. Finalmente, vemos se a soma das dimensões dos espaços próprios é igual a 3, o que garante a existência de uma base de R^3 formada só por autovetores (ou seja, se T é diagonalizável).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
A-lambda I = 17-lambda & 18 & 18 -21 & -22-lambda & -21 6 & 6 & 5-lambda
Seu determinante expande para
det(A-lambda I) =,-l(lambda^3-3lambda-2r) =-,(lambda-2)(lambda+1)^2
Logo os autovalores são
lambda1 = 2(mu<iplicidade algébrica 1), lambda2 = -1(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 3

Para resolvemos :
Dessa forma obtemos o sistema equivalente
Da segunda equação . Substituindo na primeira vem , i.e.\ , ou . Tomando para evitar frações, temos
Um autovetor para é

Passo 4

Para resolvemos :
Isso define um espaço de dimensão . Por exemplo, tomando parâmetros e , , obtemos dois autovetores independentes

Passo 5

O autovalor lambda=2 tem multiplicidade geométrica 1 e lambda=-1 tem multiplicidade geométrica 2, cujo somatório é 1+2=3, igual à dimensão de R^3. Portanto T é diagonalizável e existe base de R^3 formada só por autovetores.

Resposta

Uma base de R^3 constituída apenas de autovetores de T é, por exemplo,
,v1=(6,-7,2),;v2=(-1,1,0),;v3=(-1,0,1),
e a resposta à pergunta é sim, podemos construir tal base.

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