Considere a matriz que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Encontre auto-vetores para T. É possível construir uma base para R^3 constituída apenas de autovetores de T ?
que representa um operador linear TcolonR^3toR^3.
Queremos encontrar todos os autovalores lambda resolvendo det(A-lambda I)=0, depois achar para cada lambda o espaço nulo de A-lambda I, cujos vetores não nulos são os autovetores. Finalmente, vemos se a soma das dimensões dos espaços próprios é igual a 3, o que garante a existência de uma base de R^3 formada só por autovetores (ou seja, se T é diagonalizável).
Da segunda equação . Substituindo na primeira vem , i.e.\ , ou . Tomando para evitar frações, temos
Um autovetor para é
Passo 4
Para resolvemos :
Isso define um espaço de dimensão . Por exemplo, tomando parâmetros e , , obtemos dois autovetores independentes
Passo 5
O autovalor lambda=2 tem multiplicidade geométrica 1 e lambda=-1 tem multiplicidade geométrica 2, cujo somatório é 1+2=3, igual à dimensão de R^3. Portanto T é diagonalizável e existe base de R^3 formada só por autovetores.
Resposta
Uma base de R^3 constituída apenas de autovetores de T é, por exemplo,
,v1=(6,-7,2),;v2=(-1,1,0),;v3=(-1,0,1),
e a resposta à pergunta é sim, podemos construir tal base.